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课题高三函数复习专题——抽象函数
课 题：高三函数复习专题——抽象函数
教学目标：
1、理解抽象函数并掌握抽象函数的一般解题策略；
2、通过对抽象函数的研究，进一步加深对函数概念和性质的理解；
3、灵活运用赋值法、联想与类比、转化、建模等数学思想方法解决抽象函数问
题，培养学生合情推理的思维习惯.
教学重点：理解并掌握抽象函数的一般解题策略.
教学难点：如何将抽象问题具体化，突破抽象性，抓住问题实质．
教学过程：
一、提出问题，建立模型
1、引言：
在函数部分的综合题中我们常常遇见一类抽象函数问题。这类问题由于条件
中没有给出具体的函数解析式，而只给出该函数所具备的某些性质，所以大家求
解此类问题时往往感到很棘手。事实上，这类问题一般都是以基本初等函数作为
模型，只要我们认真分析，善于联想，挖掘出作为模型的函数，变抽象为具体，
变陌生为熟知，必能为我们的解题提供思路和方法。
2、回顾并归纳抽象函数与背景函数模型对应关系 （参考点要P 32/5 ）
抽象函数性质 背景函数模型 具体函数解析式
f (x +y ) f (x) +f (y ) f (x) kx, (k ≠0)
一次函数模型
f (x +y ) f (x) +f (y ) −m f (x) kx +m, (k ≠0)
f (x +y ) f (x) ⋅f (y )
f (x) a x (a 0, a ≠1)
指数函数模型
f (x)
f (y ) ≠0
f (x −y ) （ ）
f (y )
f (x ⋅y ) f (x) +f (y )
x f (x) loga x (a 0, a ≠1)
f ( ) f (x) −f (y ) 对数函数模型
y
(x 0、y 0)
f (x ⋅y ) f (x) ⋅f (y )
f (x) x a
幂函数模型
x f (x)
f ( ) （y ≠0 ）
y f (y )
…… …… ……
对上述抽象函数的背景函数模型，虽不能用它来代替具体证明，但却能构建
解决问题的框架,明确解决问题的切入点，并能一叶知秋，化难为易。
二、探究问题，寻求方法
问题1、已知函数f (x) 的定义域是（0，+∞），且单调递增,满足
f (xy ) f (x) +f (y ) ，f (4) 1 。
（1）求证：
f (1) 0 ；
1
（2）求f (16) 和f (
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