第098期學生答題狀況與解答及評析.docVIP

臺北市立建國高級中學第期通訊解題詳解 求的小數點後第一位數字。 【簡答】9 【詳解】為整數，又因，的小數部分為 所以，， 可知的小數點後第一位數字是9。+)的小數點後第一而()的估計是可行的，再加上(+)+ ()為整數，此題便能迎刃而解。這是解此題的想法。 由乘法的分配律，可得(+)+ ()為整數，這是國中程度即可解決。以二項式定理的詳細解法如下： (1) 二項式定理： 設n為正整數，、， (2) ，為整數；又 兩式相加，得(+)+ ()為整數 本題參與徵答者有7人：得7分者，5人：臺北市天母國中余竑勳 新北市蘆洲國中謝耀慶 新北市文山國中許皓閔新北市康橋實驗完全中學蔡皓文 桃園市新興國際中小學國中部游壵騰得6分者，1人： 臺中市衛道國中高暐竣 得2分者，1人： 臺中市華盛頓國中邱禹埕 已知都是質數，並且。 則的最小可能值為何。 【簡答】 【詳解】設，則，，…，。 若2不是的因數，則中有一個為偶數，矛盾； 若3不是的因數，則中有一個數為3的倍數，矛質； 故是的因數的最小值為6。 類似地，若5不是的因數，則中必有一個是5的倍數， 故，此時5, 11, 17, 23, 29符合要求，所以的最小值為29。至實際為一等差數列，大部分同學從公差的奇偶性出發，立即看出公差必為偶數，進而開始分情況討論。而得到部分分數的同學是因為在說明時有不清楚或不合理之處，而扣一些分數。同學們大都分成此兩面為相鄰或相對這兩種情況討論，然後再利用三邊長為質數的概念求出可能的情形，進而求出最大值；而得到部份分數的同學是因為只探討其中一種情況，雖然得到了正確答案，但因為未顧及所有情況，而扣一些分數。 一個直立的三角柱能否切割成三個等體積的三角錐體？請證明之。 【簡答】可以 【詳解】錐。 ( + + 可切割為三角錐FABC、三角錐CDEF、三角錐EBCF 在三角錐FABC和三角錐CDEF中 ∵?ABC ??DEF，且=高相同 根據祖暅定理三角錐FABC和三角錐CDEF體積相同……(1) 在三角錐CDE和三角錐F中 ∵???EBC，且高相同 根據祖暅定理三角錐CDE和三角錐F體積相同……(2) 由(1)(2)得三角錐FABC、三角錐CDEF、三角錐EBCF體積相同， 三角錐FABC、三角錐CDEF、三角錐EBCF體積原三角柱體積 ∴三角錐FABC、三角錐CDEF、三角錐EBCF體積為三角柱體積之倍 【】祖暅定理錐切割三角錐體三角錐體體積相切割為三角錐體【】 (1)試檢驗這14個連續整數任意個數的各位數字之和均不能被8整除。確定的最小值對於任意個連續正整數中，總存在一個數的各位數字之和是的倍數。並說明理由。【詳解】， 明顯均不能被8整除。當時，對於這14個連續整數，任意個數的數字之和均不能被8整除。 時，題設的性質不成立。 因此，要使題設的性質成立，應有。 再證時，題設的性質成立。 設為任意的連續個正整數，則這個正整數中，個位數為的整數最多有兩個，最少有一個，可分為： 當中個位數為的整數有兩個時：設，且、的個位數字為，則滿足為連續的11個整數，其中無進位。 設表示各位數字之和，則各位數字之和分別為。 故這連續的個數中至少有一個被8整除。 當中個位數為的整數只有一個時(記為)： (i)若整數滿足，則在後面至少有個連續整數。 於是， 這個連續整數的各位數和也為個連續整數。所以，必有一個數能被整除。 (ii)若整數滿足，則在前面至少有個連續整數，不妨設為，這個連續整數的各位數和也為個連續整數。所以，必有一個數能被整除。 綜上，對於任意個連續整數中，必有一個數，其各位數字之和是的倍數。而小於個的任意連續整數不成立此性質。 所以，的最小值是。【解題重點】 第(1)小題提示，當時，讓第(2)小題題設的性質均不成立的反例構造法。以及證明題設成立時，最重要的關鍵點。 由於任8個連續正整數中，必有一個8的倍數， 又對於十位數字相同的連續正整數，其各位數字和亦為連續正整數， 因此任8個十位數相同的連續正整數，必有一個數為8的倍數。 欲證明時，題設的性質成立。 重點在將任意的連續個正整數，分為個位數字為的整數恰兩個或恰一個去討論。 (a)若個位數字為的整數恰兩個： 則此15個連續正整數中就有10個連續正整數其十位數相同，因此其中必有一個數為8的倍數。 (b)若個位數字為的整數恰一個： 由鴿籠原理，可看出此15個連續正整數中至少有8個十位數相同的連續正整數，因此其中必有一個數為8的倍數。 最後要說明的最小值為15，必須強調時，滿足題設，但，皆不滿足題設，才算完整。 【評析】本題共有9人徵答，臺北市立天母國中余竑勳、新北市文山國中鄭容濤、新北市蘆洲國中謝耀慶等3位