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中心极限定理及其应用 主讲：詹晓琳 主要内容 高尔顿钉板试验 中心极限定理 中心极限定理的应用 高尔顿钉板试验的描述 图中每一个黑点表示钉在板上的一颗钉子.每排钉子等距排列,下一排的每个钉子恰在上一排两相邻钉子之间.假设有n 排钉子,从入口中处 放入小球.在下落的过程中当小球碰到钉子后以1/2 的概率滚向左边,也以 1/2的概率滚向右边.碰到下一排钉子时又是如此.因此，任意放入一小球，则此球落入底层的哪一个格子是预先难以确定的。 高尔顿钉板试验的结果 如果n 较大,可以看到许多小球从入口处滚到钉板底端的格子的情形如图所示,堆成的曲线近似于正态分布. 林德伯格－列维中心极限定理 设随机变量 相互独立且服从 同一分布，若 则随机变量 的分布函数满足 中心极限定理的应用 解决了n个独立同分布的随机变量的和分布，即 由定理知 这一结果是数理统计中大样本推断的理论基础。 中心极限定理的应用 高尔顿钉板试验的数学解释： 表示第n次碰钉后小球的位置，由定理知 解释了许多随机现象若是由大量相互独立的随机因素综合影响所形成的，其中每一个因素在总的影响中所起的作用是微小的。那么这类随机变量一般都服从或近似服从正态分布。 例1：一颗骰子连续掷4次，点数总和记为 ，试估计 。 题目所求概率为 由中心极限定理得 总结：有些题目不容易想到用中心极限定理来解释，但若题目有特征“所求问题可以归结为独立同分布的随机变量和”时，则要提醒自己可以考虑到中心极限定理。但要注意正确求解 棣莫佛－拉普拉斯中心极限定理 在n重贝努里试验中,事件在每次试验中出现的 概率为p, 为n次试验中事件出现的次数,则 中心极限定理的应用 二项分布可以用正态分布作近似计算 ，由定理知 可以计算频率估计概率时的误差估计，即 例2：某市保险公司开办一年人身保险业务,被保险人每年需要交付保险费160元，若一年内发生重大人身事故，其本人或家属可获2万元赔金。已知该市人员一年内发生重大人身事故的概率为0.005，现有5000人参加此项保险，问保险公司一年内从此项业务中所得的总收益在20万元到40万元之间的概率是多少？ 解：设r.v.X表示5000人发生重大人身事故的人数，依题意X服从B(5000,0.005),这里 一年的总收益为 题目所求问题为 由中心极限定理知： 总结：该类题目的解题要领是要识别其中的二项分布，二项分布的特征是重复独立试验n次后事件发生k次的概率问题。而中心极限定理的作用只是解决了关于二项分布的概率计算问题。 作业：P116 6，7，8，10 * * 试验演示 解：设 为k次掷骰子的点数，k=1,2,3,4。且它们之间独立同分布，于是4次骰子的点数之和为 依题意