（双曲线及其方程）对称问题.docVIP

对称问题 平面解析几何中所涉及的对称问题，可归结为两大类，即中心对称和轴对称. 1.中心对称 设点M(x１，y１)关于点P０（ａ,b）的对称点为N(x２，y２)，则 如果Ｐ０为原点时，则 曲线C：f(x,y)=0关于点P０(a,b)的对称曲线Ｃ′的方程可这样求出. 设M(x０，y０)是曲线C上的任一点，它关于点P（a,b）的对称点N(x,y)， 则 因为点M在曲线C上，∴f(x０，y０)＝０， 所以曲线Ｃ′的方程为f(2a-x,2b-y)=0 一般地，曲线f(x,y)=0关于点(a,b)的对称曲线是f(2a-x,2b-y)=0 特别地，曲线f(x,y)=0关于原点(0，0)的对称曲线是f(-x,-y)=0 2.轴对称 设M(x１，y１)关于直线l:Ax+By+C=0的对称点为N(x２，y２)，则 由此得曲线f(x,y)=0关于直线Ax+By+C=0对称的曲线的方程是 特别地，点M(x,y)和曲线f(x,y)=0关于下列特殊直线的对称点和对称曲线方程如下表. 对称轴 x轴 轴 =x m（x,y）的对称点 （x,-y） (-x,y) (y,x) f(x,y)=0的对称 曲线 f(x,-y)=0 f(-x,y)=0 f(y,x)=0 对称轴 =-x x=a =b m（x,y）的对称点 （-y,-x） (-2ax,y) (x,2b-y) f(x,y)=0的对称 曲线 f(-y,-x)=0 f(2a-x,y)=0 f(x,2b-y)=0 当对称轴直线的斜率为±1时，还有下面的结论： (1)对称轴为直线l：y=x+m时，M(x,y)关于l的对称点为N(y-m,x+m). (2)对称轴为l:y=-x+m时，M(x,y)关于l的对称点为N(m-y,m-x). 3.解析几何在有关对称问题的题型，归纳起来，有下面几种： (1)两点，两曲线关于某点成中心对称； (2)两点,两曲线关于某直线成轴对称； (3)曲线关于中心或轴的自身完全对称. 4. 两类图像自身对称的函数 (1)对定义在R上的函数y=f(x)，其图像关于直线x=m对称的充要条件是： f(2m-x)=f(x)(或f(m-x)=f(m+x))对定义域内任一x都成立. (2)对于定义在R上的函数y=f(x)，其图像关于点(m,0)中心对称的充要条件是 f(2m-x)=-f(x)(或f(m-x)=-f(m+x))对于定义域内的任一x都成立.