（双曲线及其方程）双曲线及其标准方程的学习（一）.docVIP

对双曲线的学习同椭圆一样是通过它的图象研究它的性质的，而熟练掌握双曲线的定义及其标准方程是我们对它深入讨论的基础知识和基本技能. 1.深入理解双曲线的定义 平面内到两个定点F1、F2的距离的差的绝对值是常数（小于|F1F2|）的点的轨迹叫双曲线，这两个定点叫双曲线的焦点，两个焦点的距离叫焦距，用集合语言可叙述为：点集P={m||MF1|-|MF2||=2a,a＞0,2a＜|F1F2|} 问题：如果点M到平面内两个定点F1、F2满足条件|MF1|-|MF2|=±2a(a＞0)，则它的轨迹一定是双曲线吗？反过来，如果平面内一个点M的轨迹是双曲线，一定有|MF1|-|MF2|=±2a(a＞0)这一条件吗？ 分析：让学生通过具体实际操作过程，不难发现并得出满足|MF1|-|MF2|=±2a(a＞0)且2a＜|F1F2|条件时，才能是双曲线，反过来，也可以得到.如果点M的轨迹是双曲线，一定有|MF1|-|MF2|=±2a(a＞0)这一条件成立. 评析：“动点M到两个定点F1、F2的距离差的绝对值|MF1|-|MF2|=±2a(a＞0)”是“点M轨迹是双曲线”的必要而不充分条件. 注意：双曲线的定义是我们对它方程式的推导的依据. 提供以下题目以熟练双曲线的定义. （1）方程||=6表示什么曲线. 答案：双曲线 （2）方程=6表示什么曲线？ 答案：双曲线的右支 （3）方程=8表示什么曲线？ 答案：以点（0，4）为端点，沿着y轴正向的一条射线 2.熟练掌握双曲线的标准方程 问题一，在学习双曲线的标准方程时，应注意些什么？ 答：①把双曲线的标准位置（位置特征）与标准方程（方程特征）统一起来. 如果双曲线的中心在原点，焦点在x轴上，那么这个位置是标准位置，若方程的右边为1，则左边两项中含x2的项为正且分母为a2，含y2的项为负且分母为b2，所以方程为. 如果双曲线的中心在原点，焦点在y轴上，那么这个位置也是标准位置.若方程的右边为1，则左边两项中含x2的项为负且分母为b2，含y2的项为正且分母为a2,所以方程为. ②“定量”和“定位”，要求出双曲线的标准方程，就要求出a2、b2两个“待定系数”，于是需要两个独立的条件，按条件列出关于a2、b2的方程组，解得a2、b2的具体数值后，再按位置特征写出标准方程，因此“定量”是指a、b、c等数值的确定；“定位”则是指除了中心在原点以外，判断焦点在哪条坐标轴上，以便在使方程的右边为1时，确定方程的左边哪一项为正，哪一项为负，同时也就确定了a2、b2在方程中的位置. ［例1］讨论表示何种圆锥曲线，它们有何共同特征. 分析：由于k≠9,k≠25,则k的取值范围为k＜9,9＜k＜25,k＞25,分别进行讨论. 解：（1）当k＜9时，25-k＞0,9-k＞0,所给方程表示椭圆，此时a2=25-k,b2=9-k, c2=a2-b2=16，这些椭圆有共同的焦点（-4，0），（4，0）. （2）当9＜k＜25时，25-k＞0,9-k＜0,所给方程表示双曲线，此时，a2=25-k,b2=9-k, c2=a2+b2=16，这些双曲线也有共同的焦点（-4，0），（4，0）. （3）当k＞25,k=9,k=25时，所给方程没有轨迹. 评述：将具有共同焦点的一系列圆锥曲线，称为同焦点圆锥曲线系，不妨取一些k值，画出其图形，体会一下几何图形所带给人们的美感. 问题二，在具体求双曲线标准方程时，应怎样进行“巧设巧求”呢？ 下面通过具体例子说明. ［例1］根据下列条件，求双曲线的标准方程. （1）过点P（3，），Q（-，5）且焦点在坐标轴上. （2）c=,经过点（-5，2），焦点在x轴上. （3）与双曲线有相同焦点，且经过点（3，2） 解：（1）设双曲线方程为 ∵P、Q两点在双曲线上 ∴ 解得 ∴所求双曲线方程为 评述：采取以上“巧设”可以避免分两种情况讨论，得“巧求”的目的. 注意：此种设法在本书教案§8.1.2备课资料例1的（1）小题已经用过，我们不难发现对于椭圆与双曲线，这种设法都可以用. （2）∵焦点在x轴上，c= ∴设所求双曲线方程为 (其中0＜λ＜6) ∵双曲线经过点（-5，2） ∴ ∴λ=5或λ=30（舍去） ∴所求双曲线方程是 评述：以上简单易行的方法给我们以明快、简捷的感觉. （3）设所求双曲线方程为： (0＜λ＜16) ∵双曲线过点（3，2） ∴ ∴λ=4或λ=-14（舍） ∴所求双曲线方程为 评述：（1）注意到了与双曲线有公共焦点的双曲线系方程为后，便有了以上巧妙的设法. （2）寻找一种简捷的方法，须有牢固的基础和一定的变通能力，这也是在我们教学中应该注重的一个重要方面.