例题（一）（椭圆的简单几何性质）.docVIP

例１　若椭圆的准线方程为，求实数m的取值集合，并写出此椭圆的焦点坐标与离心率的大小． 解：方程表示椭圆，则m＞０． 椭圆的准线方程为，则椭圆的焦点在x轴上，于是有５＞m， 从而a２＝５，b２＝m， ∴，解得m＝３． 所以m的取值集合为{3}，并且椭圆方程为 ，焦点坐标为（±，0），离心率为． 例２　如果椭圆的两个焦点把椭圆的对称轴上夹在两条准线之间的线段三等分，那么此椭圆的离心率等于＿＿＿＿． 解：设椭圆的方程为．由于，两准线l１、l２之间的距离为２，依题设条件：有． 所以． 从而椭圆的离心率． 例３　已知Ｆ是椭圆在x轴上方的焦点，Ｑ是此椭圆上任意一点，点Ｐ分所成的比为２，求动点Ｐ的轨迹方程． 解：把已知椭圆变形为． ∵a2=25,b2=16． 从而焦点Ｆ的坐标为（０，３）． 设Ｐ点的坐标为(x,y)，Ｑ点的坐标为（x１，y１）， 则　　　　　　① 由Ｐ分所成比为２，得： ∴． 代入①得：． 例２　已知焦点Ｆ（０，）的椭圆截直线所得弦的中点横坐标是，求椭圆标准方程． 解：由焦点Ｆ（０，）知椭圆焦点在y轴上，且（）２＝５０，故设椭圆方程为： 将－１代入整理得： 由韦达定理：． ∴ ∴ 解得t=75． ∴所求椭圆方程为． 例３　　已知椭圆，过右焦点Ｆ２的直线l交椭圆于Ａ、Ｂ两点，若，求l方程． 分析：直线与椭圆相交问题，交点设而不求，应用韦达定理表示弦长，并注意分类讨论思想的应用． 解：∵c=5－4=1,F2(1,0)．k不存在时，l：x＝１代入椭圆方程，．∴k存在． 故设l：y=k（x－１），代入椭圆方程整理得： ． 设Ａ（x1,y1）,B(x2,y2) 由韦达定理：． 又∵． ∴ ∴k2=1,k=±1． 所以或． —3—