（双曲线及其方程）双曲线及其标准方程的学习（二）.docVIP

要在熟练掌握双曲线及其标准方程的基础上，灵活地将它应用于双曲线有关的问题中，培养学生对知识的重新组合能力和分析问题、解决问题的能力. 1.双曲线及其标准方程在一些问题中的应用. ［例1］已知双曲线的右焦点分别为F1、F2，点P在双曲线上的左支上且|PF1||PF2|=32，求∠F1PF2的大小. 分析：一般地，求一个角的大小，通常要解这个角所在的三角形. 解：∵点P在双曲线的左支上 ∴|PF1|-|PF2|=6 ∴|PF1|2+|PF2|2-2|PF1||PF2|=36 ∴|PF1|2+|PF2|2=100 ∵|F1F2|2=4c2=4(a2+b2)=100 ∴∠F1PF2=90° 评述：（1）巧妙地将双曲线的定义应用于解题当中，使问题得以简单化. （2）题目的“点P在双曲线的左支上”这个条件非常关键，应引起我们的重视，若将这一条件改为“点P在双曲线上”结论如何改变呢？请读者试探索. ［例2］已知F1、F2是双曲线的两个焦点，点P在双曲线上且满足∠F1PF2 =90°，求△F1PF2的面积. 分析：利用双曲线的定义及△F1PF2中的勾股定理可求△F1PF2的面积. 解：∵P为双曲线上的一个点且F1、F2为焦点. ∴||PF1|-|PF2||=2a=4 |F1F2|=2c=2 ∵∠F1PF2=90° ∴在Rt△PF1F2中 |PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2=20 ∵（|PF1|-|PF2|）2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1||PF2|=16 ∴20-2|PF1||PF2|=16 ∴|PF1|·|PF2|=2 ∴S|PF1|·|PF2|=1 评述：双曲线定义的应用在解题中起了关键性的作用. 2.利用双曲线定义求动点的轨迹 ［例3］已知两点F1（-5，0）、F2（5，0），求与它们的距离差的绝对值是6的点的轨迹. 分析：问题的条件符合双曲线的定义，可利用双曲线定义直接求出动点轨迹. 解：根据双曲线定义，可知所求点的轨迹是双曲线. ∵c=5,a=3 ∴b2=c2-a2=52-32=42=16 ∴所求方程为动点的轨迹方程，且轨迹是双曲线. 评述：（1）若清楚了轨迹类型，则用定义直接求出其轨迹方程可避免用坐标法所带来的繁琐运算. （2）如遇到动点到两个定点距离之差的问题，一般可采用定义去解. ［例4］在△ABC中，BC=2，且sinC-sinB=sinA,求点A的轨迹. 分析：要求点A的轨迹，需借助其轨迹方程，这就要涉及建立坐标系问题，如何建系呢？ 解：以BC所在直线为x轴，线段BC的中垂线为y轴建立平面直角坐标系，则B（-1，0），C（1，0）. 设A（x,y），由sinC-sinB=sinA及正弦定理可得： |AB|-|AC|=|BC|=1 ∵BC=2 ∴点A在以B、C为焦点的双曲线右支上 设双曲线方程为： (a＞0,b＞0) ∴2a=1,2c=2 ∴a=,c=1 ∴b2=c2-a2 = ∴所求双曲线方程为4x2-=1 ∵|AB|-|AC|=1＞0 ∴x＞ ∴点A的轨迹是双曲线的一支上挖去了顶点的部分 ［例5］求下列动圆圆心M的轨迹方程: (1)与⊙C:(x+2)2+y2=2内切，且过点A（2，0） （2）与⊙C1：x2+(y-1)2=1和⊙C2:x2+(y+1)2=4都外切. （3）与⊙C1:(x+3)2+y2=9外切，且与⊙C2:(x-3)2+y2=1内切. 分析：这是圆与圆相切的问题，解题时要抓住关键点，即圆心与切点和关键线段，即半径与圆心距离.如果相切的⊙C1、⊙C2的半径为r1、r2且r1＞r2，则当它们外切时，|O1O2|=r1+r2;当它们内切时，|O1O2|=r1-r2.解题中要注意灵活运用双曲线的定义求出轨迹方程. 解：设动圆M的半径为r (1)∵⊙C1与⊙M内切，点A在⊙C外 ∴|MC|=r-,|MA|=r,|MA|-|MC|= ∴点M的轨迹是以C、A为焦点的双曲线的左支，且有： a=,c=2,b2=c2-a2= ∴双曲线方程为2x2-=1(x≤-) (2)∵⊙M与⊙C1、⊙C2都外切 ∴|MC1|=r+1,|MC2|=r+2, |MC2|-|MC1|=1 ∴点M的轨迹是以C2、C1为焦点的双曲线的上支，且有： a=,c=1,b2=c2-a2= ∴所求的双曲线方程为： 4y2-=1(y≥) (3)∵⊙M与⊙C1外切，且与⊙C2内切 ∴|MC1|=r+3,|MC2|=r-1,|MC1|-|MC2|=4 ∴点M的轨迹是以C1、C2为焦点的双曲线的右支，且有： a=2,c=3,b2=c2-a2=5 ∴所求双曲线方程为： (x≥2) 评述：（1）“定义法”求动点轨迹是解析几