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相关练习 例1.两条相交直线的每一条能否与两条异面直线都相交？如果能，说明其特点；如果不能，说明理由. 解：如图，设两条异面直线为c、d. 取A∈c，c、d为异面直线，∴A过A、d确定一平面. ∴在内可作AB∩d=B，ACd=C. 则AB、AC为与两条异面直线均相交的两条相交直线. 同理，也可在直线d上取点A，作两条相交直线与两条异面直线均相交，此时四条直线交于三个不同点. 如果a∩b=P，Pac、d都相交. 假设a、bc、d相交于四个不同点，不妨设a∩c=A，bc=B，ad=A′，bd=B′. ∵a∩b=P ∴过a、b. ∴A∈，，B，. ∴AB即 这与c、d是异面直线矛盾. ∴a、b、c、d不能相交于四个不同点. 例2.如图，空间四边形ABCD的对角线AC=10，BD=6，M、N分别是AB、CD的中点，MN=7，求异面直线AC和BD所成的角. 解: 取AD的中点P，∵M、N分别为AC、CD中点， ∴PM∥BD，PN∥AC ∴异面直线AC和BD所成的角为∠MPN（或它的补角） ∵AC=10，BD=6，MN=7 ∵PN= 在△PMN中，由余弦定理知 则 ∴=60° 即AC和BD所成角为60°. 例3.如图，空间四边形ABCD中，E、F、G、H分别是线段AB、BC、CD、DA上的点. (1)EF与HG的位置关系如何？ (2)若EF∩HG=P，(3)在什么条件下，EF能与HG平行？ 解：(1)EF与HG可能平行、相交、异面. (2)若 EF∩HG=P，则P∈EF，且P∈HG， ∵EF平面ABC ∴P平面ABC 又∵HG平面ACD，∴P∈平面ACD. ∵平面ABC平面ACD=AC，∴P∈AC. (3)当EF∥AC，且HG∥AC时，由公理4可得EF∥HG. 例4.如图，AB和CD是两异面直线，BD是它们的公垂线，线段AB=CD，M是BD的中点，N是AC的中点. 求证：MN⊥AC； 当AB=CD=a，BD=bc时，求MN的长. (1)证明：连结AM、CM ∵BD是AB、CD的公垂线 ∴∠ABM=∠CDM=90°，AB=CD，又M是BD的中点，BM=DM， ∴Rt△ABM≌Rt△CDM, ∴AM=CM，N是AC的中点，∴MN⊥AC. (2)解：当AB=CD=a，b，C=c时，BM= ∴AM= 例5.如图，已知a、b是异面直线，直线c、da交于不同两点P、Q，c、d分别与b交于不同两点M、N，求证：c、d是异面直线. 证明：假设c、d不是异面直线，则c、d在同一平面内. ∵c ∴P∈，Q. 而P∈a，Qa，a ∴a、b共面，这与a、b 故假设错误，所以c，d.