（两个平面平行的判定和性质）典例剖析(第二课时).docVIP

［例1］已知a和b是异面直线，且a⊥b，a⊥α，bα，求证b∥α 选题意图：考查利用平面平行的性质证线面平行和利用线线平行证线面平行. 证法一：如图9—87，过b上一点P作a的垂线PQ，b与PQ确定平面β ∵a⊥b，a⊥PQ ∴a⊥β 又∵a⊥α ∴α∥β，且bβ∴b∥α 图9—87 图9—88 证法二：如图9—88，在b上任取一点M，作MN⊥α于N，直线b与MN确定一个平面，设为β ∵a⊥α，MN⊥α ∴a∥MN 又a⊥b ∴b⊥MN 设α∩β=c，且MN⊥α，cα ∴MN⊥c 又∵MN⊥b，MN⊥c，且MN、b、cα ∴b∥c，而bα，cα ∴b∥α 说明：(1)证法一用面面平行的性质证线面平行，这是线面平行的又一个判定定理，方法是构造一平面β，ｂβ，易证β∥α. (2)证法二用线面平行的判定定理，在平面α内可找到一直线ｃ，且ｃ∥ｂ. ［例2］AB、CD为夹在两个平行平面α、β之间的异面线段，M、N分别为AB、CD的中点，求证：MN∥α(或MN∥β) 选题意图：利用面面平行的性质证明线面平行. 证明：如图9—89，∵ACD ∴过A和CD确定平面γ，且γ∩β=AC，γ∩α=DE ∵α∥β ∴AC∥DE 截取DE=CA，连结EA，则ACDE为平行四边形 取AE中点P，连结MP，NP，BE ∵M、N分别为AB、CD的中点 ∴MP∥BE，NP∥DE ∴PM∥α，NP∥α，平面MNP∥α ∴MN∥α ［例3］如图9—90，已知平面α∥平面β，线段AB、CD夹在α、β之间，AB=13,CD=，且它们在β内的射影之差为2，求α和β之间的距离. 选题意图：“夹在两平行平面的公垂线段相等，也叫做两个平行平面的距离”.考查学生对这一概念的理解及距离的求法. 解：设A、C在平面β上的射影为A′、C′，则α、β之间的距离AA′=CC′=a，且BA′、DC′分别为AB、CD在β内的射影 在Rt△ABA′中，AB=13,则 在Rt△CDC′中，CD=,则 又∵C′D与A′B相差为2 即A′B-C′D=2， ∴a=5 ∴平面α、β间的距离为5 图9—89 图9—90