集合习题4.docVIP

二、参考练习题 1.判断正误 (1)空集没有子集( ) (2)空集是任何一个集合的真子集( ) (3)任一集合必有两个或两个以上子集( ) (4)若BA，那么凡不属于集合A的元素，则必不属于B( ) (5) ｛0｝( ) 分析：关于判断题应确实把握好概念的实质． 解：该题的5个命题，只有(4)、(5)是正确的，其余全错. 对于(1)、(2)来讲，由规定：空集是任何一个集合的子集，且是任一非空集合的真子集． 对于(3)来讲，可举反例，空集这一个集合就只有自身一个子集. 对于(4)来讲，当x∈B时必有x∈A，则xA时也必有xB． 而(5)符合，空集是任一非空集合的真子集． 2.集合A＝｛x｜－1＜x＜3，x∈Z｝，写出A的真子集． 分析：区分子集与真子集的概念.空集是任一非空集合的真子集，一个含有n个元素的子集有2n，真子集有2n－1个． 则该题先找该集合元素，后找真子集． 解：因－1＜x＜3，x∈Z，故x＝0，1，2 即A＝｛x｜－1＜x＜3，x∈Z｝＝｛0，1，2｝ 真子集：、｛1｝、｛2｝、｛0｝、｛0，1｝、｛0，2｝、｛1，2｝，共7个 3.(1)下列命题正确的是( ) A．无限集的真子集是有限集 B．任何一个集合必定有两个子集 C．自然数集是整数集的真子集 D．｛1｝是质数集的真子集 (2)0与的关系( ) A．0＝ B．0  C．0∈ D．0 (3)以下五个式子中，错误的个数为( ) ①｛1｝∈｛0，1，2｝ ②｛1，－3｝＝｛－3，1｝③｛0，1，2｝｛1，0，2｝ ④∈｛0，1，2｝ ⑤∈｛0｝ A．5 B．2 C．3 D．4 (4)Ｍ＝｛x｜3＜x＜4，a＝π，则下列关系正确的是( ) A．aＭ B．aＭ C．｛a｝∈Ｍ D．｛a｝Ｍ 解：(1)该题要在四个选择支中找到符合条件的选择支．必须对概念把握准确，并不是所有有限集都是无限集子集，如｛1｝不是｛x｜x＝2k，k∈Z｝的子集，排除A.由于只有一个子集，即它本身，排除B．由于1不是质数，排除D．故选C． (2)0是一个元素，是不含任何元素的集合，符合上述意义的选D． (3)该题涉及到的是元素与集合，集合与集合关系． ①应是｛1｝｛0，1，2｝，④应是｛0，1，2｝，⑤应是｛0｝ 故错误的有①④⑤，选C． (4)Ｍ＝｛x｜3＜x＜4｝，a＝π 因3＜a＜4，故a是M的一个元素． ｛a｝是｛x｜3＜x＜4＝的子集，那么｛a｝Ｍ． 选D． 4.判断如下A与B之间有怎样的包含或相等关系： (1)A＝｛x｜x＝2k－1，k∈Z｝，B＝｛x｜x＝2m＋1，m∈Z｝ (2)A＝｛x｜x＝2m，m∈Z｝，B＝｛x｜x＝4n，n∈Z｝ 解：(1)因A＝｛x｜x＝2k－1，k∈Z｝，B＝｛x｜x＝2m＋1，m∈Z｝，故A、B都是由奇数构成的，即A＝B． (2)因A＝｛x｜x＝2m，m∈Z｝，B＝｛x｜x＝4n，n∈Z｝，又 x＝4n＝2·2n 在x＝2m中，m可以取奇数，也可以取偶数；而在x＝4n中，2n只能是偶数． 故集合A、B的元素都是偶数.但B中元素是由A中部分元素构成，则有BA． 评述：此题是集合中较抽象题目.注意其元素的合理寻求． 5.已知集合P＝｛x｜x2＋x－6＝0｝，Q＝｛x｜ax＋1＝0｝满足QP，求a所取的一切值． 解：因P＝｛x｜x2＋x－6＝0｝＝｛2，－3｝ 当a＝0时，Q＝｛x｜ax＋1＝0｝＝，QP成立． 又当a≠0时，Q＝｛x｜ax＋1＝0｝＝｛－｝， 要QP成立，则有－＝2或－＝－3，a＝－或a＝． 综上所述，a＝0或a＝－或a＝ 评述：这类题目给的条件中含有字母，一般需分类讨论． 本题易漏掉a＝0，ax＋1＝0无解，即Q为空集情况． 而当Q＝时，满足QP． 6.已知集合A＝｛x∈R｜x2－3x＋4＝0｝，B＝｛x∈R｜(x＋1)(x2＋3x－4＝0)，要使APB，求满足条件的集合P． 解：由题A＝｛x∈R｜x2－3x＋4＝0｝＝ B＝｛x∈R｜(x＋1)(x2＋3x－4)＝0｝＝｛－1，1，－4｝ 由APB知集合P非空，且其元素全属于B，即有满足条件的集合P为： ｛1｝或｛－1｝或｛－4｝或｛－1，1｝或｛－1，－4｝或｛1，－4｝或｛－1，1，－4｝ 评述：要解决该题，必须确定满足条件的集合P的元素． 而做到这点，必须化简A、B，充分把握子集、真子集的概念，准确化简集合是解决问题的首要条件. 7.已知AB，AC，B＝｛0，1，2，3，4｝，C＝｛0，2，4，8｝，则满足上述条件的集合A共有多少个？ 解：因AB，AC，B＝｛0，1，2，3，4｝，C＝｛0，2，4，8｝，由此