（空间直线）用空间向量内积求异面直线所成的角.docVIP

用空间向量内积求异面直线所成的角 求异面直线所成的角，过去通常都是转化为平面角去求，但是若利用空间向量内积去求，则不须降维转化也很简单.本文结合往届高考试题加以说明. 例1.(1992年高考)如图，在棱长为1的正方形ABCD—A1B1C1D1中，M、N分别为A1B1和BB1的中点，求AM与CN所成角的余弦值是（ ） A. 解：、、是空间的一组标准正交基.由于 图1 因此在这个标准正交基下，、的坐标分别为 于是 故选D. 例2．(1993年高考)在正方体A1B1C1D1—ABCD中，M、N分别为棱A1A和B1B的中点，如图2.若为直线CM和D1N所成的角，则sin等于（ ） B. C. D. 解：设正方体的棱长为1，则、、是空间的一组标准正交基，由于 图2 因此在这个标准正交基下，、的坐标分别为（1，1， 又 所以故选D. 例3.如图3所示，正方形ABCD所在的平面与正方形ABEF所在的平面成60°的二面角，求AD与BF所成角的余弦值. 解： 、、是空间的一组基，且所以∠DAF是面ABC与面ABE所成的二面角的平面角，从而∠DAF=60°，即 图3 由于 因此 例4.（2000年高考）已知平行六面体ABCD—A1B1C1D1的底面ABCD是菱形，且∠C1CB=∠C1CD=∠BCD=60°，证明：C1C⊥BD. 图4 解：、、 是空间的一组基，由于 所以 例5．（1991年上海）如图5，设△ABC和△DBC所在的两个平面互相垂直，且AB=BC=BD，∠CBA=∠DBC=120°.求A、D的连线和直线BC所成的角. 解：、、是空间的一组基，由于 图5 因此 所以 即 A、D的连线和直线BC成90°的角.