（两个平面平行的判定和性质）典例剖析(两个平面平行的判定和性质习题课).docVIP

［例1］如图9—92，正方体ABCD—A1B1C1D1中，E在AB1上，F在BD上，且B1E＝BF，求证：EF∥平面BB1C1C. 选题意图：考查线面平行问题的判定. 证法一：连AF延长交BC于M，连结B1M ∵AD∥BC ∴△AFD∽△MFB ∴ 又∵BD＝B1A，B1E＝BF ∴DF＝AE ∴ ∴EF∥B1M，B1M平面BB1C1C ∴EF∥平面BB1C1C 证法二：作FH∥AD交AB于H，连结HE ∵AD∥BC ∴FH∥BC，BCBB1C1C ∴FH∥平面BB1C1C 由FH∥AD可得 又BF＝B1E，BD＝AB1 ∴ ∴EH∥B1B，B1B平面BB1C1C ∴EH∥平面BB1C1C EH∩FH＝H ∴平面FHE∥平面BB1C1C EF平面FHE ∴EF∥平面BB1C1C 说明：证法一用了证线面平行，先证线线平行.证法二则是证线面平行，先证面面平行，然后说明直线在其中一个平面内. ［例2］如图9—93，P是△ABC所在平面外一点，A′、B′、C′分别是△PBC、△PCA、△PAB的重心，(1)求证：平面A′B′C′∥平面ABC，(2)求S△A′B′C′∶S△ABC (1)证明：连PA′、PC′并延长交BC、AB于M、N， ∵A′、C′分别是△PBC、△PAB的重心， ∴M、N分别是BC、AB的中点，连结MN 由， ∴A′C′∥MN，MN平面ABC ∴A′C′∥平面ABC 同理A′B′∥平面ABC，而A′C′和A′B′是平面A′B′C′内的相交直线 ∴平面A′B′C′∥平面ABC (2)解：由(1)可知A′C′∥MN，A′C′∶MN＝ ∴△A′B′C′∽△ABC ∴S△A′B′C′∶S△ABC＝1∶9 ［例3］已知：平面α∥平面β，线段AB分别交α、β于点M、N；线段AD分别交α、β于点C、D；线段BF分别交α、β于点F、E，且AM=m，BN=n，MN=p，△FMC面积=(m+p)(n+p) 求：△ENP的面积 解：如图9—94，面AND分别交α、β于MC，ND，因为α∥β，故MC∥ND，同理MF∥NE，得，∠FMC＝∠END，∴ND∶MC＝（m+p）：m和EN∶FM＝n∶(n+p) ∶= 图9—92 图9—93 图9—94