（两个平面平行的判定和性质）立几证明中常见逻辑错误与剖析.docVIP

立几证明中常见逻辑错误与剖析 培养和发展学生的逻辑思维能力，这是立几教学历来强调的课题.实践表明，不重视其本逻辑方法的介绍，而一味追求在解题过程中“潜移默化”，只能是事倍功半.怎样将基本的逻辑方法有机地渗透于教学之中呢？笔者认为，及时指出并纠正学生解题中存在的逻辑错误，让学生充分认识致误的根源，对发展和提高学生的逻辑推理能力十分有益.为此，本文以立几证明为例，揭示几种常见的逻辑错误，以期与大家共同研究探讨. 首选必须明确逻辑思维对证明的基本要求，即证明规则，共有五条： （1）论题要明确； （2）论题应当始终统一； （3）论据要真实； （4）论据不能靠论题来证明； （5）论据必须能推出论题. 如果证题过程中未能遵守证明规则，就会产生这样或那样的逻辑错误.这些逻辑错误主要表现形式有以下几种. 1 偷换论题 根据同一律，在证明过程中，论题应当是始终同一的，不能中途变更，即必须遵守规则（2）.违反了这条规则所犯的逻辑错误，称为偷换论题，以偏概全、以特殊代替一般是偷换论题错误的主要表现形式. 图1 例1 求证：与同一条直线相交的所有平行线都在同一个平面内. 已知：a∩l=A， bl=B， cl=C，a∥b∥c……. 求证：a、b、c、……在同一平面内. 证明（略） 剖析 此例可见于许多数学参考书中，仅看证明过程，往往觉得无懈可击.其实问题出在“已知”“求证”的叙述方式上. 以“a∥b∥c…”来表示论题中的“所有平行直线”是不妥的.因为“a∥b∥c…”表示的平行直线构成的集合是可列集（即可以与自然数集N构成一一映射的集合）.而与同一直线相交的所有平行线构成的集合是不可列集.也就是说前者是后者的真子集.因此，按上述“已知”“求证”所进行的证明，实际上仅证明了“所有平行线”中的一部分是共面的.犯了偷换论题的错误.正确的做法宜将“已知”“求证”按如下方式叙述： 已知：a∩l=A， bb∥a且b∩l=B的直线. 求证：a、b、l共面. 例2.求证：两条平行直线和同一平面所成的角相等.(《立几》第34页) 《教参》中对此题的“已知”“求证”作如下叙述： 已知：a∥b， a=A， b=B，a、b与所成的角. 求证： 剖析 读者不难发现，例2中所指的两条平行线未必是平面的斜线.按“已知”“求证”的叙述，仅把它们当作的斜线来证，漏掉了其他两种可能的情形.犯了偷换论题的错误. 2.虚假论据 论据是确立论题真实性的理由.如果论据是假的，那么就不能确定论题的真实性.违反了这条规则（即规则（3））的逻辑错误叫虚假论据. 例3 如图2，正方体ABCD—A1B1C1D1中，P、Q、R分别是上棱AB、AA1、AD上的点，求证：△PQR为锐角三角形. 错证：由题意可知Q平面AC，P、R∈平面AC. 又∵QA⊥平面AC，∴∠PAR是∠PQR在平面AC上的射影. ∴∠PQR∠PAR=90°， PQR为锐角. 同理可以证明∠QPR、∠PRQ皆为锐角，∴△PQR为锐角三角形. 剖析:上述证法的思路似乎十分简洁.然而仔细推敲证题所用的主要论据：从平面外一点向平面引两条线段所成的角，小于这两条斜线段在平 图2 面上射影所成的角.可发现其不真.反例如下（图3）： 已知△ABC中，AB=2，BC=1，AC=，B、C在平面内，A在外，且A在上的射影为O，经计算容易得知，当二面角A－BC－O等于 60°时，∠BAC=∠BOC，当二面角A—BC—O大于60°且小于90°时，∠BAC﹥∠BOC. 所以上述证法犯了虚假论据的逻辑错误.正确的证法如下. 证明 设AP=x， AQ=y， AR=z. PQ2=x2+y2，QR2=y2+z2， PR2=x2+y2，cosQPR=0， QPR为锐角，同理可证∠PRQ、∠RQP也是锐角.故△PQR是锐角三角形. 例4.已知：a、b是异面直线，b⊥，ba， a.a∥. 错证：∵b⊥，B.又∵a、b异面，∴B a. 设过B及a的平面为且∩=(如图4) ∵b⊥，b⊥，b⊥a， a∥，a， a∥. 剖析：上述证明的论据之一是：“垂直地同一条直线的两条直线平行”.易知，该命题当且仅当这三条直线共面时为真.因此，上述证明犯了虚假论据的逻辑错误.正确的证法如下： 证明 ∵b⊥，b上取异于B的一点A ，过A作∥a.设，b确定的平面为，且∩=m. 图4 ∵b⊥，b⊥m. 又∵、b、m都在平面内， 由b⊥m、b⊥可知∥m. 又∵a∥，a∥m. ∵a，m，a. 3.循环论证 证明命题A时，以命题B为前提，但命题B的真实性，却又是直接或间接地以命题A为依据. 这种证明在逻辑上称为循环论证.循环论证是一种错误