棱柱同步练习.docVIP

相关练习 例1.正三棱柱ABC—A1B1C1的底面边长为a，，在侧棱CC1上截取CE=a；过A、D、E作棱柱的截面. （1）求证截面ADE⊥侧面ACC1A1， （2）求截面面积. （1）证明：延长ED，CB交于F，连结AF， ∵DB∥EC， ∴ ∴FB=BC=AB ∴∠FAC=90°，即FA⊥AC，又FA⊥A1A. ∴FA⊥侧面AA1C1C，由FA截面ADE ∴截面ADE⊥侧面ACC1A1. （2）t△FAC中，AC=a，FC=2a 又D为Rt△FAE斜边EF的中点， ∴S△ADE= 例2.在底面边长为a，侧棱长为2a的正四棱柱ABCD—A1B1C1D1中，求 点B到平面AB1C的距离， （2）以B1C为棱，AB1C和BB1C为面所成二面角的正切值. 解：（1）如图，设E为AC的中点，作BO⊥B1E，垂足为O. ∵AC⊥BE，BB1⊥平面ABCD. ∴AC⊥平面BB1E ∴AC⊥BO. ∴BO为B到平面AB1C的距离. 在Rt△B1BE中，BE= 由BO·B1E=BE·BB1 解得BO= （2）由BO⊥平面AB1C，AF⊥B1C ∴BF⊥B1C. ∴∠BFA是二面角A—B1C—B的平面角，在Rt△BB1C中 ，BFB1C=BB1·BC， BF= ∴tanBFA= 例3.如图，在正三棱柱ABC—A1B1C1中，已知AC1⊥CB1，求证：CB1⊥BA1. 证明：由正三棱柱性质可知△ABC、△A1B1C1为正三角形，且侧棱与底面垂直. 取BC中点D，B1C1中点D1，连AD、DC1、A1D1、BD1，则AD⊥BC，A1D1⊥B1C1. ∵BB1⊥面ABC， ∴AD⊥BB1. ∴AD⊥面BB1C1C. ∴DC1为AC1在面BB1C1C内的射影. ∵AC1⊥CB1，CB1. 在矩形BB1C1C中，∵D、D1为BC、B1C1中点， ∴DC1∥BD1 ∴BD1⊥CB1. 同理可证A1D1⊥平面BB1C1C ∴BD1为A1B在平面BB1C1C内的射影. 由三垂线定理得BA1⊥CB1. 例4.斜三棱柱的一个侧面的面积为10，这个侧面与它所对棱的距离等于6，求这个棱柱的体积. 解：如图，设斜三棱柱ABC—A1B1C1的侧面BB1C1C的面积为10，A1A和面BB1C1C的距离为6，在AA1上取一点P作直截面PQR，则AA1⊥截面PQR，AA1⊥RQ，∴截面PQR⊥侧面BB1C1C. 过点P作PO⊥QR于O，则PO⊥侧面BB1C1C，且PO=6. ∴V斜=S△PQR·AA1 例5.已知正四棱柱ABCD—A1B1C1D1的底面边长为2，侧棱长为， (1)求二面角B1—AC—B的大小； (2)求点B到平面AB1C的距离. 解：（1）连结AC、BD交于点O，连结B1O， ∵BB1⊥底面ABCD且BO⊥AC ∴B1O⊥AC， ∴∠B1OB是二面角B1—AC—B的平面角. 在Rt△B1BO中，B1B=，OB= ∴tanB1OB=1且∠B1OB为锐角. ∴∠B1OB=45° 即二面角B1—AC—B为45°. （2）作BM⊥B1O于M，由AC⊥平面B1OB. ∴BM⊥AC， ∴BM⊥平面AB1C 即BM为点B到平面AB1C的距离. 在等腰Rt△B1BO中，BB1= BM=1.