浅谈致密性定理的不同证明方法.pdfVIP

中国校外教育 下旬刊 教学方法 浅 谈 致 密 性 定 理 的 不 同证 明 方 法 胡永生 ◆ 在 《数学分析 》课程的极限续论部分 ,提出了关于实数的七个基本定理 。这些定理虽然出发的角度不同 ,但描写的都是实数连续性这 同一件事 ,它们之间是相互等价的 ,即任取其中两个定理 ,它们可以相互证明 。对同一个定理的证明 ,虽然不同的定理作为工具会使证明有 简繁之分 ,但最后却都能殊途同归 。本文就以致密性定理为例 ,论述如何从不同角度对其进行证明 ,并总结在证明过程中的几点发现 。 实数基本定理 确界定理 单调有界定理 区间套定理 有限覆盖定理 致密性定理 柯西收敛定理 δ ( δ δ) 一 、分析的严格化 ———定理的出现 先证 ϖ x [ a , b ] , Π 0, x - , x + 中必含有 x 的无限项 。 0 0 0 n δ ( δ δ) 十七世纪,微积分这一锐 利无比的数学 工具为 牛顿 、莱布尼茨 各 自独 如果不然 , Π x ∈[ a, b ] , ϖ 0,使 x - , x + 只含 { x }的有限项 。 x x x n 立发现 , 推动了科学技术的发展 。一方面 ,微 积分在应用中大 获成功 ; 一方 记 E = { ( x - δ, x + δ) |x ∈[a , b ] , δ由上产生 },是 [ a, b ]的一个覆盖 。