三峡大学《线性代数》第5章矩阵特征值问题及二次型.pptxVIP

线性代数;第五章矩阵特征值问题

二次型;引言;5.1方阵的特征值与特征向量;由;是以l为未知数的一元n次方程，称为矩阵A的特征方程。;注意：;解：;2、把每个特征值l代入线性方程组;解线性方程组;解：;当l=-1时，解线性方程组;当l=2时，解线性方程组;取;矩阵的特征值与特征向量有如下的定理：;定理2：设l是矩阵A的特征值,对应的特征向量为x，

即Ax=lx(x≠0)，则：;依次是与之对应的特征向量。;则;把上列各式合写成矩阵形式，得;等号两边同时右乘它的逆矩阵，有;定理4;例：;例：设有特征值10和1，则A的第三个特

征值为多少？;5.2相似对角化;注：矩阵相似关系是一种等价关系。;定理1:;（2）虽然相似矩阵有相同的特征值，但是它们不一定 有相同的特征向量。;例：设方阵相似，求x,y.;若n阶矩阵A和n阶对角阵D=diag(l1,l2,…,ln)相似，则可方便地计算j(A).;矩阵可对角化的条件（利用相似变换把方阵对角化）;(2)相似变换矩阵P由A的n个线性无关的特征向量;例1:判断下列实矩阵能否化为对角阵？;解:;得基础解系;得基础解系;线性无关;解：;得基础解系;例2：设;解：(1);得基础解系;得基础解系;取;定理：设A为n阶矩阵，l为A的特征多项式

|A-lE|=0

的k重根，则A相似于对角阵的充要条件是

R(A-lE)=n-k;例3：设;是特征方程|A-lE|=0的二重根。;1.由特征值、特征向量求矩阵;解：因为A有3个不同的特征值，所以A可以对角化。;2.求方阵的幂;齐次线性方程组为;5.3实对称矩阵的对角化;令;例1：;正交矩阵的性质：;定理1：实对称矩阵的特征值为实数.;考虑;即为实数。;定理2：实对称矩阵的对应于不同特征值的

特征向量正交。;定理3：;推论:设A为n阶实对称矩阵，l为A的特征

多项式的k重根，则;例2：设;当时，由;当时，由;当时，由;得正交矩阵;例3：设;当时，齐次线性方程组为;先正交化：;当时，齐次线性方程??为;得正交矩阵;与特征值、特征向量有关的问题：;5.4二次型及其标准形;例如：;只含有平方项的二次型;取;令;例如：二次型;任给一个二次型，就唯一确定一个对称矩阵；

反之，任给一个对称矩阵，也可唯一确定一个二次型．

因此二次型与对称矩阵之间存在一一对应的关系;则对称矩阵A称为二次型f的矩阵，;例1：求二次型f的矩阵;例2：求对称矩阵A所对应的二次型;例3：已知二次型f的秩为2，求参数c。;2.非退化线性变换（可逆线性变换）;系数矩阵;若C是可逆矩阵，则称线性变换x=Cy是非退化线性变换，

若C是正交矩阵，则称线性变换x=Cy是正交变换。;3.矩阵的合同;合同的性质：;将此结论用于二次型化标准形,即利用正交变换x=Py;化二次型为标准形;1.正交相似变换法;例14求一个正交变换;特征值为l=-1,2;当l=-1时，解方程;正交化;当l=2时，解方程;2.拉格朗日配方法;解：注意到f中含有x1的平方项，把含x1的项合并配方，;再类似地考虑含u2的项,;例16把二次型;解：注意到f中不含x1的平方项，但含有x1x2项，;再令;正定二次型;定义10:设二次型;定理10:二次型;定理11:对称矩阵A为正定的充要条件是：A的各阶主子

式全是正的；

对称矩阵A为负定的充要条件是：A的奇数阶主

子式是负的，偶奇数阶主子式是正的。