中考数学 圆中的分类讨论思想——两解及多解问题题型总结（解析版）中考复习提优重难点拓展训练.docxVIP

中考数学

圆中的分类讨论思想——两解及多解问题题型总结（解析版）

类型一圆心在两弦之间或者两弦之外

1．（2024秋?东西湖区期中）如图，AB，CD是⊙O中两条平行的弦（AB和CD在圆心O的两侧），且AB＝4，CD＝6，⊙O的半径是13，则AB、CD之间的距离为5．

【思路引领】作OM⊥AB于M，延长MO交CD于N，连接OB，OD，由垂径定理，勾股定理即可求解．

【完整解答】解：作OM⊥AB于M，延长MO交CD于N，连接OB，OD，

∵AB∥CD，

∴ON⊥CD，

∵AB＝4，CD＝6，

∴MB=12AB＝2，DN=

∵OB2＝OM2+MB2，

∴OM=O

∵OD2＝ON2+DN2，

∴ON=O

∴MN＝OM+ON＝3+2＝5．

故答案为：5．

【总结提升】本题考查垂径定理，勾股定理，关键是作OM⊥AB于M，延长MO交CD于N，连接OB，OD构造直角三角形，以便应用垂径定理，勾股定理．

2．（2024秋?兴化市月考）如图，一下水管道横截面为圆形，直径为20dm，下雨前水面宽AB为12dm．一场雨过后，水面宽变为16dm，则水位上升2或14dm．

【思路引领】过圆心作垂直于弦的线段，构造直角三角形，再分水位分别在圆心上方和下方的两种情况去讨论，垂径定理与勾股定理结合求解即可．

【完整解答】解：①如图，过O作OE⊥AB于E，交CD与F连接OB、OC，

由题意得：AB∥CD，

∵OE⊥AB，

∴OE⊥CD，

∴∠OFC＝∠OEB＝90°，=DF=CF=12CD=8dm

∴由勾股定理得：OE=OB2

∴EF＝OE﹣OF＝8﹣6＝2（dm），

∴水位上升2dm；

②如图，过O作OG⊥AB于G，交MN与H连接OB、OM，

由题意得：AB∥MN，

∵OG⊥AB，

∴OH⊥MN，

∴∠OHM＝∠OGB＝90°，MH=NH=12MN=8dm

∴由勾股定理得：OG=OB2

∴GH＝OG+OH＝8+6＝14（dm），

∴水位上升14dm；

综上可知：水位上升2dm或14dm，

故答案为：2或14．

【总结提升】本题考查了垂径定理的应用，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．

类型二讨论弦上某点或端点的位置

3．（2024秋?渝中区期中）在半径为10的⊙O中，弦AB的长为16，点P在弦AB上，且OP的长为8，AP长为8﹣27或8+27．

【思路引领】作OC⊥AB于点C，根据垂径定理求出OC的长，根据勾股定理求出PC的长，分当点P在线段AC上和当点P在线段BC上两种情况计算即可．

【完整解答】解：作OC⊥AB于点C，

∴AC=12

由勾股定理得，OC=O

∴PC=OP2

当点P在线段AC上时，AP＝AC﹣PC＝8﹣27，

当点P在线段BC上时，AP＝8+27，

故答案为：8﹣27或8+27．

【总结提升】本题考查的是垂径定理的应用和勾股定理的应用，正确作出辅助线构造直角三角形、运用分情况讨论思想是解题的关键．

4．（2020春?东城区期末）已知⊙O的直径CD＝10cm，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为M，且AB＝8cm，则CM的长为（）

A．2cm B．3cm C．2cm或8cm D．3cm或7cm

【思路引领】分两种情况，根据题意画出图形，先根据垂径定理求出AM的长，连接OA，由勾股定理求出OM的长，进而可得出结论．

【完整解答】解：连接AO，

∵⊙O的直径CD＝10cm，AB⊥CD，AB＝8cm，

∴AM=12AB=12×8＝4（cm），OD

当C点位置如图1所示时，

∵OA＝5cm，AM＝4cm，CD⊥AB，

∴OM=OA2

∴CM＝OC+OM＝5+3＝8（cm）；

当C点位置如图2所示时，

同理可得：OM＝3cm，

∵OC＝5cm，

∴CM＝5﹣3＝2（cm）；

综上所述，CM的长为8cm或2cm，

故选：C．

【总结提升】本题考查的是垂径定理和勾股定理等知识，根据题意画出图形，利用垂径定理和勾股定理求解是解答此题的关键．

类型三讨论点在优弧上或劣弧上

5．（2024?平山县模拟）在半径为1的⊙O中，弦AB、AC的长分别为2、3，则∠BAC所对的弧长为（）

A．π3 B．5π12 C．π3或π4

【思路引领】先根据题意画出图形，过点O分别作AC、AB的垂线，连接OA，再根据锐角三角函数的定义求出∠AOD及∠AOE的度数，根据直角三角形的性质即可得出结论．

【完整解答】解：①如图1，两弦在圆心的异侧时，过O作OD⊥AB于点D，OE⊥AC于点E，连接OA，

∵AB=2，AC=

∴AD=22，AE

根据直角三角形中三角函数的值可知：sin∠AOD=2

∴∠AOD＝45°，

∵sin∠AOE=3

∴∠AOE＝60°，

∴∠OAD＝90°﹣∠AOD＝45°，∠OAC＝90°﹣∠AOE＝30°，

∴∠BAC＝∠OAD+∠