河北省保定市部分高中2024–2025学年高二数学下学期开学考试【含答案】.docxVIP

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河北省保定市部分高中2024-2025学年高二数学下学期开学考试试题

一、单选题

1．已知直线经过点，，则的斜率为（???）

A． B．2 C． D．

2．双曲线的离心率为（???）

A． B．3 C． D．

3．若构成空间的一个基底，则下列向量可作为基底的是（???）

A．，， B．，，

C．，， D．，，

4．已知数列满足，设的前项和为，则（???）

A．0 B．1 C． D．2025

5．已知椭圆的两个焦点为，，椭圆上有一点，则的周长为（???）

A．6 B．16 C． D．12

6．已知数列满足，且，则（???）

A． B． C． D．

7．如图，在直三棱柱中，，，，E是的中点，则直线AB与平面所成角的正弦值为（???）

??

A． B． C． D．

8．已知数列满足，，设的前项和为，若，，成等差数列，则（???）

A．10 B．11 C．12 D．13

二、多选题

9．在空间直角坐标系中，已知点，，，，则（???）

A． B．与夹角的余弦值为

C．在上的投影向量为 D．点到直线BC的距离为

10．在数列中，若对任意连续三项，，，均有，，则称该数列为“跳跃数列”．已知等比数列是“跳跃数列”，则公比的取值可能是（???）

A． B． C． D．

11．已知A，B，C是抛物线上不同的动点，F为抛物线W的焦点，直线l为抛物线W的准线，AB的中点为，则（???）

A．当时，的最大值为32

B．当时，的最小值为22

C．当时，直线AB的斜率为

D．当A，F，B三点共线时，点P到直线l的距离的最小值为14

三、填空题

12．在棱长为6的正四面体中，点M在OA上，且，则．

13．已知等差数列的前项和为，若，则.

14．“将军饮马”问题源自唐代诗人李顾的诗作《古从军行》，其中隐含着一个有趣的数学问题：将军在观望烽火之后，从山脚下的某处出发，先到河边饮马后再回军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在区域为，河岸线所在直线方程为，若将军从点处出发，并假定将军只要到达军营所在区域即回到军营，则“将军饮马”的最短总路程为，在河边饮马点的坐标为．

四、解答题

15．已知定点，定直线，曲线上有一动点，过点作直线的垂线，垂足为，且．

(1)求曲线的方程；

(2)若点在轴的右侧，，求周长的最小值．

16．在等差数列中，，且．

(1)求的通项公式；

(2)求数列的前项和．

17．如图，在四棱锥中，平面，底面是矩形，，是P党的中点．

(1)证明：平面．

(2)证明：平面．

(3)求平面与平面夹角的余弦值．

18．已知数列的前项和为，满足；是以为首项，且公差不为0的等差数列，，，成等比数列．

(1)求，的通项公式；

(2)令，求数列的前项和．

19．已知椭圆的短轴长为，且离心率为.

(1)求C的方程.

(2)过点作斜率不为0的直线与椭圆C交于S，T不同的两点，再过点作直线ST的平行线与椭圆C交于G，H不同的两点.

①证明：为定值.

②求面积的取值范围.

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

答案

C

A

D

B

D

C

D

B

ABD

AC

题号

11

答案

ACD

1．C

【详解】解：直线的斜率．

故选：C

2．A

【详解】因为，，所以，

故离心率为．

故选：A.

3．D

【详解】因为，所以，，共面；

因为，所以，，共面；

因为，所以，，共面；

因为不存在x，y，使得，所以，，不共面，所以可以作为基底．

故选：D.

4．B

【详解】由正弦函数周期公式可知是周期为4的周期数列，

且，，，，得：，

所以．

故选：B

5．D

【详解】因为，，

所以，

故的周长为．

故选：D.

6．C

【详解】因为，所以．

因为，所以数列是首项为1，公比为2的等比数列，

所以，所以，

故．

故选：C

7．D

【详解】由题意知CA，CB，两两垂直，以，，的方向分别为轴，轴，轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，

则，，，，

设平面的法向量为，

因为，，

所以令，得，

因为，所以，

故直线AB与平面所成角的正弦值为．

??

故选：D.

8．B

【详解】因为，且，

所以当时，，

因为也满足，所以，

因为，

所以，

若，，成等差数列，则，即，得.

故选：B.

9．ABD

【详解】因为，，所以，故A正确；

因为，，所以，故B正确；

因为，，所以在上的投影向量为，故C错误；

因为，所以的一个单位方向向量为，

因为，所以点到直线BC的距离为，故D正确．

故选：ABD.

10．AC

【详解】因为等比数列是“跳跃数列”，

由已知，，

则，得，所以A，C正确．

故选：AC.

11．A