2026届高考数学一轮总复习提能训练练案17导数与函数的极值最值.docVIP

PAGE/NUMPAGES

练案17导数与函数的极值、最值

A组基础巩固

一、单选题

1．(2025·江苏南通海安质检)函数f(x)＝x(x－3)2的极大值为()

A．－4 B．0

C．1 D．4

D

[解析]f′(x)＝(x－3)2＋2x(x－3)＝3(x－1)(x－3)，故选D.

x

(－∞，1)

1

(1,3)

3

(3，＋∞)

f′(x)

＋

0

－

0

＋

f(x)



极大值4



极小值0



2.已知函数f(x)和g(x)的导函数f′(x)，g′(x)图象分别如图所示，则关于函数y＝g(x)－f(x)的判断正确的是()

A．有3个极大值点

B．有3个极小值点

C．有1个极大值点和2个极小值点

D．有2个极大值点和1个极小值点

D

[解析]由已知结合函数的单调性与极值的关系进行分析即可求解．结合函数图象可知，当xa时，f′(x)g′(x)，此时y′＝g′(x)－f′(x)0，函数单调递增，当ax0时，f′(x)g′(x)，此时y′＝g′(x)－f′(x)0，函数单调递减，当0xb时，f′(x)g′(x)，此时y′＝g′(x)－f′(x)0，函数单调递增，当xb时，f′(x)g′(x)，此时y′＝g′(x)－f′(x)0，函数单调递减，故函数在x＝a，x＝b处取得极大值，在x＝0处取得极小值．故选D.

3．(2024·西安中学高三第四次月考)函数f(x)＝e|x|＋cosx＋1在区间[－π，π]上的最大值、最小值分别为()

A．＋1,3 B．eπ，3

C．＋1,2 D．eπ，2

B

[解析]因为f(－x)＝e|x|＋cosx＋1＝f(x)，所以f(x)为偶函数，当x≥0时，f(x)＝ex＋cosx＋1，f′(x)＝ex－sinx．易知当x≥0时，ex≥1，sinx≤1，则f(x)＝ex－sinx≥0，f(x)在[0，π]上单调递增，所以f(x)max＝f(π)＝eπ，f(x)min＝f(0)＝3，故选B.

4．(2025·皖豫天一大联考)若函数f(x)＝eq\f(ex,x2＋bx＋1)在x＝2时取得极小值，则f(x)的极大值为()

A．eq\f(1,e) B．1

C．eq\f(e3,8) D．e

D

[解析]由函数f(x)＝eq\f(ex,x2＋bx＋1)，

求导可得f′(x)＝eq\f(ex[x2＋?b－2?x＋1－b],?x2＋bx＋1?2)，

由题意可得f′(2)＝0，则4＋2(b－2)＋1－b＝0，解得b＝－1，

所以f(x)＝eq\f(ex,x2－x＋1)，则x2－x＋1＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2）)2＋eq\f(3,4)0，

f′(x)＝eq\f(ex?x2－3x＋2?,?x2－x＋1?2)＝eq\f(ex?x－1??x－2?,?x2－x＋1?2)，

令f′(x)＝0，解得x＝1或2，列表如下：

x

(－∞，1)

1

(1,2)

2

(2，＋∞)

f′(x)

＋

0

－

0

＋

f(x)



极大值e



极小值0



则函数的极大值为f(1)＝eq\f(e1,1－1＋1)＝e.故选D.

5．(2023·海南八校联盟)已知函数f(x)＝3lnx－x2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a－\f(1,2）)x在区间(1,3)上有最大值，则实数a的取值范围是()

A．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，5） B．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，\f(11,2）)

C．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(11,2）) D．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，5）

B

[解析]f′(x)＝eq\f(3,x)－2x＋a－eq\f(1,2)，由题意易知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(f′?1?0，,f′?3?0，）即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＋\f(1,2)0，,a－\f(11,2)0，），解得－eq\f(1,2)aeq\f(11,2).故选B.

6．(2025·河北石家庄二中模拟)若函数f(x)＝(1－x)·(x2＋ax＋b)的图象关于点(－2,0)对称，x1，x2分别是f(x)的极大值点与极小值点，则x2－x1＝()

A．－eq\r(3) B．2eq\r(3)

C．－2eq\r(3) D．eq\r(3)

C

[解析]由题意可得f(－2)＝3(4－2a＋b)＝0，

因为函数图象关于点(－2,0)对称，