高中数学　三角恒等变换（附答案解析）全国一轮数学（提高版） .docxVIP

三角恒等变换

研题型素养养成

举题说法

辅助角公式的应用

例1已知sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,6)))＋cosα＝eq\f(3,5)，则coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2α＋\f(π,3)))＝(B)

A.－eq\f(7,25) B.eq\f(7,25)

C.－eq\f(24,25) D.eq\f(24,25)

【解析】因为sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,6)))＋cosα＝eq\f(\r(3),2)sinα－eq\f(1,2)cosα＋cosα＝eq\f(\r(3),2)sinα＋eq\f(1,2)cosα＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,6)))＝eq\f(3,5)，所以coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2α＋\f(π,3)))＝coseq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,6)))))＝1－2sin2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,6)))＝1－2×eq\f(9,25)＝eq\f(7,25).

辅助角公式主要完成正弦和余弦的叠加，利用asinx＋bcosx＝eq\r(a2＋b2)sin(x＋φ)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(tanφ＝\f(b,a)))将表达式先转化，再研究性质，解题时要注意观察角、函数名、结构等特征．

变式1(1)(2024·湖北宜荆荆随恩5月联考)已知函数f(x)＝3cosx－4sinx，当f(x)取得最大值时，sinx＝(B)

A.eq\f(4,5) B.－eq\f(4,5)

C.eq\f(3,5) D.－eq\f(3,5)

【解析】令f(x)＝3cosx－4sinx＝5eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,5)cosx－\f(4,5)sinx))＝5cos(x＋φ)，其中cosφ＝eq\f(3,5)，sinφ＝eq\f(4,5)，则f(x)＝3cosx－4sinx＝5cos(x＋φ)≤5，当且仅当x＋φ＝2kπ(k∈Z)时等号成立，此时sinx＝sin(－φ)＝－sinφ＝－eq\f(4,5).

(2)已知sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,6)))＝eq\f(1,3)，则sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2α－\f(π,6)))＋cos2α＝(D)

A.－eq\f(2,3) B.eq\f(2,3)

C.－eq\f(7,9) D.eq\f(7,9)

【解析】sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2α－\f(π,6)))＋cos2α＝eq\f(\r(3),2)sin2α＋eq\f(1,2)cos2α＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2α＋\f(π,6)))＝coseq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2α＋\f(π,6)))))＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)－2α))＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2α－\f(π,3)))＝1－2sin2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,6)))＝eq\f(7,9).

三角恒等式的化简

视角1给角求值

例2-1(1)(人A必一P255复习参考题T13(3))计算：tan70°cos10°(eq\r(3)tan20°－1)＝_－1_．

【解析】原式＝tan70°cos10°eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3)sin20°,cos20°)－1))＝tan70°cos10°·eq\f(\r(3)sin20°－cos20°,cos20°)＝tan70°cos10°·eq\f(－2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(