高中数学　三角函数中ω的范围问题（附答案解析）全国一轮数学（提高版） .docxVIP

微专题三角函数中ω的范围问题

单调性与ω的取值范围

例1(2024·湛江一模)已知函数f(x)＝sin\a\vs4\al\co1(ωx＋\f(2π3))(ω＞0)在区间\a\vs4\al\co1(\f(ππ6)上单调递增，则ω的取值范围是_[10，11]_．

【解析】当x∈\a\vs4\al\co1(\f(ππ6)时，ωx＋2π3∈\a\vs4\al\co1(\f(π2ππ2π3)，因为f(x)在\a\vs4\al\co1(\f(ππ6)上单调递增，所以\f(π2ππ2π2ππ2)＋2kπ(k∈Z)，解得ω≥－14＋24k，ω≤－1＋12k)(k∈Z).又ω＞0，所以－14＋24k≤－1＋12k，－1＋12k＞0，)解得112＜k≤1312.又k∈Z，所以k＝1，所以10≤ω≤11，即ω的取值范围为[10，11].

已知f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)在给定区间上的单调性，求ω的取值范围：

(1)根据题意可知区间[x1，x2]的长度不大于该函数最小正周期的一半，即x2－x1≤12T，求得0＜ω≤πx2－x1；(2)以单调递增为例，利用[ωx1＋φ，ωx2＋φ]⊆－\f(ππ2)＋2kπ(k∈Z)，解得ω的范围；(3)结合第二步求出的ω的范围对k进行赋值，从而求出ω(不含参数)的取值范围．

变式1(2024·福州、厦门三检)若函数f(x)＝2sinωx(3sinωx＋cosωx)(ω＞0)在\a\vs4\al\co1(0，\f(π3))上单调递增，且对任意的实数a，f(x)在(a，a＋π)上不单调，则ω的取值范围为_\a\vs4\al\co1(\f(154)_．

【解析】f(x)＝2sinωx(3sinωx＋cosωx)＝23sin2ωx＋2sinωxcosωx＝sin2ωx－3cos2ωx＋3＝2sin\a\vs4\al\co1(2ωx－\f(π3))＋3，因为x∈\a\vs4\al\co1(0，\f(π3))，且ω＞0，所以2ωx－π3∈\a\vs4\al\co1(－\f(π2ππ3).若f(x)在\a\vs4\al\co1(0，\f(π3))上单调递增，则2π3ω－π3≤π2，解得0＜ω≤54.因为对任意的实数a，f(x)在(a，a＋π)上不单调，所以f(x)的周期T＝2π2ω＜2π，所以ω＞12，所以12＜ω≤54.

最值(值域)与ω的取值范围

例2已知f(x)＝sin\a\vs4\al\co1(ωx＋\f(π6))(ω＞0)，且函数y＝f(x)在0，\f(π3))上恰有两个极大值点，则ω的取值范围是_(7，13]_．

【解析】因为0≤x≤π3，ω＞0，所以π6≤ωx＋π6≤ωπ3＋π6.又因为f(x)在0，\f(π3))上恰有2个极大值点，所以由正弦函数图象可知，5π2＜ωπ3＋π6≤9π2，解得7＜ω≤13.

极值、最值与“ω”结合的问题，可以画出简图，利用三角函数的最值或周期，列出关于ω的不等式，通过解不等式求参数的最值或范围．

变式2(2024·南平三检)已知函数f(x)＝sinωx(ω＞0)在－\f(ππ3)上单调递增，且在(0，2π)上恰有两个极值点，则ω的取值范围是_\a\vs4\al\co1(\f(354)_．

【解析】由f(x)＝sinωx(ω＞0)在区间－\f(ππ3)上单调递增，可得－π6ω≥－π2，π3ω≤π2，即0＜ω≤32.又f(x)＝sinωx(ω＞0)在区间(0，2π)上恰有两个极值点，可得3π2＜2ωπ≤5π2，即34＜ω≤54.综上，34＜ω≤54.

零点与ω的取值范围

例3(1)(2025·南京、盐城期末)设函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)\a\vs4\al\co1(ω＞0，|φ|＜\f(π2))，若f(x)的图象经过点(0，1)，且f(x)在[0，π]上恰有2个零点，则实数ω的取值范围是(B)

A.\f(53)，＋∞) B.\f(11176)

C.\f(583) D.\f(116)，＋∞)

(2)(2025·德州期中)已知函数f(x)＝sin\a\vs4\al\co1(ωx＋\f(π4))(ω＞0)，若方程f(x)＝12在区间(0，2π)上恰有3个实数根，则ω的取值范围是(C)

A.\a\vs4\al\co1(\f(253124) B.\a\vs4\al\co1(\f(313724)

C.\a\vs4\al\co1(\f(314724) D.\a\vs4\al\co1(\f(316124)

【解析】由f(x)＝12，得sin\a\vs4\al\co1(ωx＋\f(π4))＝12(ω＞0)，当x∈(0，2π)时，π4＜ωx＋π4＜2ωπ＋π4.因为方程f(