高考数学　空间角的计算专练 全国一轮数学（提高版） .pdfVIP

高考数学

空间角的计算

研题型素养养成

举题固法

异面直线所成角的计算

例1(2025·苏州期中)如图(1)，在平面四边形ABCD中，CB＝CD＝23，tan∠CDB＝

2，O为对角线BD的中点，F为BC的中点，E为线段AD上一点，且BE⊥AO，CO＝AB，

AB⊥BD.

图(1)

图(2)

(例1)

(1)求AE的长；

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(2)在平面四边形ABCD中，以BD为轴将△BCD向上折起，如图(2)，当平面CBD⊥

平面ABD时，求异面直线OF与BE所成角的余弦值．

向量法求异面直线所成角的步骤

(1)选好基底或建立空间直角坐标系；

(2)求出两直线的方向向量v，v；

12

|v·v|

(3)代入公式|cos〈v，v〉|＝12求解．

12

|v||v|

12

π

变式1(2024·武汉5月训练)已知菱形ABCD中∠DAB＝，将△DAC沿对角线AC折

3

起，使以A，B，C，D四点为顶点的三棱锥体积最大，则异面直线AB与CD所成角的余弦

值为()

33

A.B.

52

33

C.D.

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线面所成角的计算

例2(2024·广州一模)如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，

π

△DCP是等边三角形，∠DCB＝∠PCB＝，M，N分别为DP和AB的中点．

4

(例2)

(1)求证：MN∥平面PBC；

(2)求证：平面PBC⊥平面ABCD；

(3)求CM与平面PAD所成角的正弦值．

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变式2(2024·青岛一模)如图，在三棱柱ABC-ABC中，AA与BB的距离为3，AB

11111

2

＝AC＝AB＝2，AC＝BC＝2.

11

(变式2)