专题训练(五)证明三角形全等的基本模型2025-2026学年人教版八年级数学上册.docxVIP

专题训练(五)证明三角形全等的基本模型

模型一手拉手模型

方法点睛··

常见的手拉手模型：

1.如图5-ZT-2,在△AOB和△COD中,OA=OB,OC=OD,∠AOB=∠COD=60°.

(1)求证:AC=BD;

(2)求∠APB的度数.

2.如图5-ZT-3,∠AOB=∠EOF=90°,OA=OB,OE=OF,连接AE,BF,试着判断AE与BF的数量关系和位置关系，并证明你的结论.

3.如图5-ZT-4,CA=CB,CD=CE,∠ACB=∠DCE=α,AD,BE交于点H,连接CH.

(1)求证:△ACD≌△BCE;

(2)求证:HC平分∠AHE(提示:过点C作CM⊥AH于点M,CN⊥BE于点N);

(3)求∠CHE的度数(用含α的式子表示)

模型二一线三等角模型

方法点睛

常见的一线三等角模型：

4.(2024和平区汉阳道中学期中)如图5-ZT-6,在△ABC中,AB=AC,D为BC边上一点,过点D作∠EDF=∠B,分别与AB,AC相交于点E,F.

(1)求证:∠BED=∠FDC;

(2)若DE=DF,求证:BE=CD.

5.三个等角的顶点在同一条直线上，称一线三等角模型(角度有锐角、直角、钝角，若为直角，则又称一线三垂直模型).解决此模型问题的一般方法是利用三等角关系找全等三角形所需角的相等条件，利用全等三角形解决问题.

(1)已知:如图5-ZT-7,在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,直线m经过点A,BD⊥直线m,CE⊥直线m,垂足分别为D,E.

求证:DE=BD+CE.

(2)如图5-ZT-8,将(1)中的条件改为:在△ABC中,AB=AC,D,A,E三点都在直线m上,并且有∠BDA=∠AEC=∠BAC=α,其中α为任意锐角或钝角.那么结论DE=BD+CE是否仍成立?若成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由.

(3)如图5-ZT-9,将(1)中的条件改为:AB=AC,A,E,D三点都在直线m上,且有∠BDF=∠DEC=∠BAC=β,其中β为任意锐角.那么结论DE=BD+CE是否仍成立?若成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由.

专题训练(五)证明三角形全等的基本模型

解:(1)证明:∵∠AOB=∠COD,

∴∠AOB+∠BOC=∠COD+∠BOC

,∴∠AOC=∠BOD.

在△AOC和△BOD中{

∴△AOC≌△BOD(SAS).

∴AC=BD.

(2)如图所示,设AC与OB交于点E.

∵△AOC≌△BOD,

∴∠OAC=∠OBD.

又∵∠BEP=∠AEO,

∴∠APB=180°-∠OBD

2.AE=BF,AE⊥BF.证明略

3.解:(1)证明:∵∠ACB=∠DCE=α,

∴∠ACB+∠BCD=∠DCE+∠BCD,

∴∠ACD=∠BCE.

又∵CA=CB,CD=CE,∴△ACD≌△BCE(SAS).

(2)证明:如图,过点C作CM⊥AH于点M,CN⊥BE于点N.

∵△ACD≌△BCE,

∴S△ACD=S△BCE,AD=BE

∴

∴CM

∴∠CMH=∠CNH=90°.在Rt△CHM和Rt△CHN中{

∴Rt△CHM≌Rt△CHN(HL),

∴∠CHM=∠CHN,

∴HC平分∠AHE.

(3)如图,设BC与AD相交于点F.

∵△ACD≌△BCE,

∴∠CAD=∠CBE.

∵∠BFH=∠AFC,∴∠AHB=∠ACB=α,

∴∠AHE=180°-α,

∴∠

4.略

5.解:(1)证明:∵BD⊥直线m,CE⊥直线m,

∴∠BDA=∠AEC=90°.

∴∠BAD+∠ABD=90°.

∵∠BAC=90°,

∴∠BAD+∠CAE=90°.

∴∠ABD=∠CAE.

在△ADB和△CEA中{

∴△ADB≌△CEA(AAS).

∴BD=AE,AD=CE.

∴DE=AE+AD=BD+CE.

(2)成立.

证明:∵∠BDA=∠BAC=α,

∴∠DBA+∠BAD=∠BAD+∠EAC=180°-α.

∴∠DBA=∠EAC.

在△ADB和△CEA中{

∴△ADB≌△CEA(AAS).

∴BD=AE,AD=CE.

∴DE=AE+AD=BD+CE.

(3)不成立.

理由:∵∠BDF=∠DEC,

∴∠BDA=∠AEC.

∵∠BDF=∠DBA+∠BAD,∠BAC=∠EAC+∠BAD,∠BDF=∠BAC,

∴∠DBA=∠EAC.

在△ADB和△CEA中{

∴△ADB≌△CEA(AAS).

∴BD=AE,AD=CE.

∴DE=AD-AE=CE-BD.