湖北省部分重点高中2024-2025学年高一下学期期末考试数学试卷.docxVIP

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湖北省部分重点高中2024-2025学年高一下学期期末考试数学试卷

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．若复数（为虚数单位）为纯虚数，则实数的值为（???）

A． B．或 C． D．

2．与向量垂直的单位向量是（???）

A． B．

C．和 D．和

3．已知圆锥的母线长为2，高为，则圆锥的全面积为（???）

A．5π B．4π C．3π D．2π

4．已知向量，，则的面积为（???）

A． B． C． D．

5．正方体中，、、、分别是所在棱的中点，则下列图形中与是异面直线，且所成的角为的是（???）

A． B．

C． D．

6．设、、、是同一个半径为的球的球面上四点，为等腰直角三角形且面积为，则三棱锥体积的最大值为（???）

A． B． C． D．

7．在中，为的外心，则的值为（???）

A． B． C． D．

8．已知向量满足：.则的最大值为（???）

A．3 B． C．4 D．5

二、多选题

9．若复数（i为虚数单位），则下列说法正确的是（???）

A．复数z的虚部为

B．

C．复数z对应的点在第一象限

D．复数满足，则的最大值为

10．一组样本有互不相等的5个数据，平均数记为，方差记为，下列说法错误的是（???）

A．去掉样本数据中的最大值和最小值后得到一组新数据，其平均数等于

B．去掉样本数据中的最大值和最小值后得到一组新数据，其方差小于

C．去掉样本数据中的最小值后得到一组新数据，其方差小于

D．去掉样本数据中的中位数后得到一组新数据，其方差小于

11．如图，四面体ABCD中，M是棱AB上的动点，N是棱CD上的动点（M、N不与四面体的顶点重合）.记BN与DM所成的角为与平面MCD的所成的角为，平面MCD与平面BCD的夹角为，则的大小关系不可能是（???）

（注：平面与平面相交形成的四个二面角中，不大于90°的二面角称为平面与平面的夹角）

A． B． C． D．

三、填空题

12．我市某所高中共有学生1800人，其中一、二、三年级的人数比为，采用分层抽样的方法从中抽取一个容量为240的样本，则应抽取一年级的人数为．

13．已知向量满足．若与夹角是，则．

14．设正方体的棱长为1，点在正方体的表面上运动，且满足与平面成的角，则点轨迹的长度为．

四、解答题

15．复数z的共轭复数为，i为虚数单位．

(1)若是关于z的实系数一元二次方程的一根，求实数a，b的值．

(2)若，求复数z．

16．如图，在直三棱柱中，，，．

(1)求证：平面；

(2)求直线与平面所成角的正弦值．

17．七彩联盟组织学生参加数学知识竞赛活动，现从中抽取500名学生的竞赛成绩为样本，按照分成6组，制作出如图所示数据不完整的频率分布直方图，并计算出：成绩在内的学生的平均成绩为分，方差为；成绩在内的学生的平均成绩为分，方差为；样本的学生的平均成绩为分．

(1)求频率分布直方图中a的值；

(2)成绩位列前60%的学生将获得优胜奖，以样本估计总体，估计获得优胜奖的成绩为多少分？（取整数分）

(3)求样本的方差．

18．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若的面积，且有．

(1)求角A和角C；

(2)若，求．

19．（1）如图1，直线l与的三边所在直线分别相交于P，Q，R三点．若，，证明：．

（2）四面体ABCD中，E，F分别为棱AB，CD的中点，经过EF的平面分别与棱BC，DA相交于点G，T（不与顶点重合），证明：

①若，则（如图2）；

②平面始终平分四面体ABCD的体积.请仅就AC与平面相交于点K时（如图3）证明此结论.

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《湖北省部分重点高中2024-2025学年高一下学期期末考试数学试卷》参考答案

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

答案

A

C

C

B

B

D

A

B

BCD

ACD

题号

11

答案

AC

1．A

【分析】利用复数的概念可得出关于实数的等式与不等式，即可解得实数的值.

【详解】因为复数（为虚数单位）为纯虚数，则，解得.

故选：A.

2．C

【分析】设与向量垂直的单位向量是，由题意可得，，结合平面向量数量积的坐标运算可得出关于、的方程组，解出这两个未知数的值，即可得出结果.

【详解】设与向量垂直的单位向量是，由题意可得