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二次函数建模题目及答案

一、选择题（每题4分，共20分）

1.二次函数的一般形式是：

A.y=ax^2+bx+c

B.y=ax^3+bx^2+cx+d

C.y=ax^2+bx+c+d

D.y=ax^2+bx+c-d

答案：A

2.二次函数的图像是一个：

A.直线

B.圆

C.抛物线

D.双曲线

答案：C

3.如果二次函数的开口向上，则二次项系数a的取值范围是：

A.a0

B.a0

C.a=0

D.a≠0

答案：B

4.二次函数的顶点坐标可以通过公式(-b/2a,f(-b/2a))计算得到，其中f(x)是二次函数的表达式。如果a=1，b=-3，c=2，则顶点的横坐标是：

A.3/2

B.-3/2

C.1

D.-1

答案：A

5.二次函数y=ax^2+bx+c的对称轴是：

A.x=a

B.x=b

C.x=-b/2a

D.x=c

答案：C

二、填空题（每题3分，共15分）

1.二次函数y=ax^2+bx+c的图像与x轴的交点个数取决于判别式Δ=______。

答案：b^2-4ac

2.如果二次函数y=ax^2+bx+c的图像经过点(1,2)，则有______。

答案：a+b+c=2

3.二次函数y=ax^2+bx+c的图像与y轴的交点坐标为(0,c)，其中c是二次函数的______。

答案：常数项

4.二次函数y=ax^2+bx+c的图像的顶点坐标可以通过公式(-b/2a,f(-b/2a))计算得到，其中f(x)是二次函数的表达式。如果a=2，b=-4，c=1，则顶点的纵坐标是______。

答案：3

5.二次函数y=ax^2+bx+c的图像的开口方向由二次项系数a的符号决定，如果a0，则图像开口______。

答案：向上

三、计算题（每题10分，共20分）

1.已知二次函数y=ax^2+bx+c的图像经过点(1,2)和(2,3)，且顶点坐标为(-1,1)，求a、b、c的值。

答案：

根据题意，我们可以得到以下方程组：

\begin{cases}

a+b+c=2\\

4a+2b+c=3\\

\frac{4ac-b^2}{4a}=1

\end{cases}

解得：

\begin{cases}

a=1\\

b=0\\

c=1

\end{cases}

2.已知二次函数y=ax^2+bx+c的图像经过点(0,1)和(2,5)，且对称轴为x=1，求a、b、c的值。

答案：

根据题意，我们可以得到以下方程组：

\begin{cases}

c=1\\

4a+2b+c=5\\

-b/2a=1

\end{cases}

解得：

\begin{cases}

a=1\\

b=-2\\

c=1

\end{cases}

四、应用题（每题15分，共30分）

1.某工厂生产一种产品，其成本函数为C(x)=0.01x^2+0.5x+100，其中x为生产量（单位：千件）。已知该产品的销售价格为每件20元，求该工厂的盈利函数L(x)。

答案：

盈利函数L(x)=销售收入-成本，即L(x)=20x-C(x)=20x-(0.01x^2+0.5x+100)=-0.01x^2+19.5x-100。

2.某工厂生产一种产品，其成本函数为C(x)=0.02x^2+0.8x+200，其中x为生产量（单位：千件）。已知该产品的销售价格为每件25元，且当生产量为5千件时，工厂的盈利为2000元。求该工厂的盈利函数L(x)。

答案：

首先，根据题意，我们可以得到方程：2000=255-(0.025^2+0.85+200)。

解得：0.02=0.01。

因此，盈利函数L(x)=25x-C(x)=25x-(0.01x^2+0.8x+200)=-0.01x^2+24.2x-200。