3 培优点2　对称与最值问题.pptxVIP

培优点2对称与最值问题;3．直线关于点对称

直线Ax＋By＋C＝0关于点P(x0，y0)的对称直线的方程的求法：求出直线上的两个特殊点M，N关于点P的对称点M′，N′的坐标，则直线M′N′的方程即为所求的直线方程．

;4．直线关于直线对称

(1)若已知直线l1与已知对称轴相交，则交点必在与直线l1对称的直线l2上，然后求出直线l1上其他任意一点关于对称轴对称的点，由两点式写出直线l2的方程．

(2)若已知直线l1与已知对称轴平行，则直线l1关于对称轴对称的直线l2与直线l1平行，可以利用直线l1与对称轴间的距离等于直线l2与对称轴间的距离求解．

;类型1中心对称问题

(1)求点P(x0，y0)关于点A(a，b)的对称点P′的坐标；

;(2)求直线3x－y－4＝0关于点(2，－1)的对称直线l的方程．

【解】方法一：设直线l上任意一点M的坐标为(x，y)，则此点关于点(2，－1)的对称点为M1(4－x，－2－y)，

且M1在直线3x－y－4＝0上，

所以3(4－x)－(－2－y)－4＝0，

即3x－y－10＝0.

所以所求直线l的方程为3x－y－10＝0.

;方法二：在直线3x－y－4＝0上取两点A(0，－4)，B(1，－1)，

则点A(0，－4)关于点(2，－1)的对称点为A1(4，2)，

点B(1，－1)关于点(2，－1)的对称点为B1(3，－1).

可得直线A1B1的方程为3x－y－10＝0，

即所求直线l的方程为3x－y－10＝0.

;方法三：由平面几何知识易知所求直线l与直线3x－y－4＝0平行，

则可设l的方程为3x－y＋c＝0(c≠－4).

在直线3x－y－4＝0上取一点(0，－4)，

则点(0，－4)关于点(2，－1)的对称点(4，2)在直线3x－y＋c＝0上，

所以3×4－2＋c＝0，所以c＝－10.

所以所求直线l的方程为3x－y－10＝0.

;类型2轴对称问题

已知直线l：y＝3x＋3，求：

(1)点P(4，5)关于l的对称点的坐标；

;(2)直线y＝x－2关于l的对称直线的方程．

;二、最值问题

与直线有关的最值问题，首先根据所求式子的特征确定其几何意义，将问题转化为两点间的距离，点到直线的距离等，并分析点与直线的位置关系，从而确定最值．

;由已知3m＋4n＝6，3a＋4b＝1，

可得点P在直线l1：3x＋4y－6＝0上，

;类型3利用对称求最值

在直线l：x－y－1＝0上求两点P，Q.使得：

(1)P到A(4，1)与B(0，4)的距离之差最大；

;(2)Q到A(4???1)与C(3，0)的距离之和最小．

;易知|QA|＋|QC|＝|QA|＋|QC′|，当且仅当Q，A，C′三点共线时，|QA|＋|QC′|最小．

;1．已知点A(a＋2，b＋2)，B(b－a，－b)关于直线4x＋3y－11＝0对称，则实数a，b的值分别为()

A．－1，2 B．4，－2

C．2，4 D．4，2

;2;√;3．点P(－3，4)关于直线x＋y－2＝0的对称点Q的坐标是()

A．(－2，1) B．(－2，5)

C．(2，－5) D．(4，－3)

;4．与直线2x＋3y－6＝0关于点(1，－1)对称的直线方程是()

A．3x－2y＋2＝0 B．2x＋3y＋7＝0

C．3x－2y－12＝0 D．2x＋3y＋8＝0

;解析：由平面几何知识易知所求直线与已知直线2x＋3y－6＝0平行，

则可设所求直线方程为2x＋3y＋C＝0(C≠－6).

在直线2x＋3y－6＝0上任取一点(3，0)，关于点(1，－1)的对称点为(－1，－2)，

则点(－1，－2)必在所求直线上，

所以2×(－1)＋3×(－2)＋C＝0，解得C＝8.

所以所求直线方程为2x＋3y＋8＝0.

;√;2;√;2;7．已知点A(1，3)，B(5，－2)，点P在x轴上．若使|AP|－|BP|最大，则点P的坐标为()

A．(4，0) B．(13，0)

C．(5，0) D．(1，0)

解析：因为B关于x轴的对称点M(5，2)，所以|AP|－|BP|＝|AP|－|PM|≤|AM|，所以连接AM并延长交x轴于点N(图略)，当点P与点N重合时，|AP|－|BP|最大，此时AM所在的直线方程为x＋4y－13＝0.令y＝0，则x＝13，所以点P的坐标为(13，0).