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章末综合检测(一);(时间：120分钟，满分：150分)

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．已知向量a＝(1，2，1)，b＝(－1，0，4)，则a＋2b＝()

A．(－1，2，9) B．(－1，4，5)

C．(1，2，－7) D．(1，4，9)

解析：a＋2b＝(1，2，1)＋2(－1，0，4)＝(－1，2，9)，故选A.

;√;3．已知平面α内的两个向量a＝(2，3，1)，b＝(5，6，4)，则平面α的一个法向量为()

A．(1，－1，1) B．(2，－1，1)

C．(－2，1，1) D．(－1，1，1)

;4．定义a?b＝|a|2－a·b.若向量a＝(1，－2，2)，向量b为单位向量．则a?b的取值范围是()

A．[0，6] B．[6，12]

C．[0，6) D．(－1，5)

解析：由题意得|a|＝3，|b|＝1，设〈a，b〉＝θ，则a?b＝|a|2－a·b＝|a|2－|a||b|cosθ＝9－3cosθ.又θ∈[0，π]，所以cosθ∈[－1，1]，所以a?b∈[6，12]，故选B.

;√;2;√;2;2;√;2;√;2;2;√;若O，A，B，C中有三点共线，则四点一定共面，故C也正确．

;10．从点P(1，2，3)出发，沿着向量v＝(－4，－1，8)的方向取点Q，使|PQ|＝18，则Q点的坐标为()

A．(－7，0，19) B．(9，4，－13)

C．(－1，－2，3) D．(1，－2，－3)

;9;√;9;12．将正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角A--BD--C，则()

A．AC⊥BD

B．△ACD是等边三角形

C．AB与平面BCD所成的角为60°

D．AB与CD所成的角为90°

;解析：如图，取BD的中点O，连接AO，CO，则AO⊥BD，CO⊥BD.又AO∩CO＝O，AO，CO?平面AOC，所以BD⊥平面AOC，又AC?平面AOC，所以AC⊥BD，A中结论正确．

;9;三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上．

13．已知a＝(－2，1，3)，b＝(－1，2，1)，a与b夹角的余弦值为__________；若a⊥(a－λb)，则λ＝________．;13;13;13;答案：a或2a;16.在我国古代数学名著《九章算术》中，四个面都为直角三角形的三棱锥称为鳖臑．已知在鳖臑P--ABC中，PA⊥平面ABC，PA＝AB＝BC＝2，M为PC的中点，则点P到平面MAB的距离为________．

;则B(0，0，0)，A(2，0，0)，P(2，0，2)，C(0，2，0)，

;令z＝－1，可得x＝0，y＝1，所以n＝(0，1，－1)，

;四、解答题：本题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．

17．(本小题满分10分)已知a＝(x，4，1)，b＝(－2，y，－1)，c＝(3，－2，z)，a∥b，b⊥c，求：

(1)a，b，c；;则a＝(2，4，1)，b＝(－2，－4，－1).

又b⊥c，所以b·c＝0，即－6＋8－z＝0，

解得z＝2，所以c＝(3，－2，2).;(2)a＋c与b＋c夹角的余弦值．

解：由(1)得a＋c＝(5，2，3)，b＋c＝(1，－6，1)，设a＋c与b＋c的夹角为θ，

;17;17;17;证明：如图，连接B1C交BC1于点O，连接OD.

由题意知O为B1C的中点，D为AC的中点，

所以OD∥AB1.

因为AB1?平面BC1D，OD?平面BC1D，

所以AB1∥平面BC1D.

;(2)求异面直线AB1与BC1所成的角．

解：建立如图所示的空间直角坐标系Bxyz，则B(0，0，0)，A(0，2，0)，C1(2，0，2)，B1(0，0，2)，

因此AB1＝(0，－2，2)，BC1＝(2，0，2).

;17;解：方案一：选条件①.

证明：因为平面PAB⊥平面ABCD，平面PAB∩平面ABCD＝AB，PA?平面PAB，PA⊥AB，所以PA⊥平面ABCD.

因为DE?平面ABCD，所以PA⊥DE.

;又PA，AC?平面PAC，PA∩AC＝A，所以DE⊥平面PAC.

又DE?平面PDE，故平面PDE⊥平面PAC.

;方案二：选条件②.

证明：因为PA⊥AB，PA⊥CD，AB与CD相交，AB，CD?平面ABCD，

所以PA⊥平面ABCD.

因为DE?平面ABCD，所以PA⊥DE.

后同选条件①.;方案三：选条件③.

证明：因为BC⊥平面PAB，又PA?平面PAB，所以BC⊥PA.

又AB⊥PA，AB，BC?平面ABCD，AB∩BC＝B，所以PA⊥平面ABCD.

因为DE?平面ABCD，