基础课15 函数的模型及其应用 (2).docxVIP

第PAGE10页

基础课15函数的模型及其应用

考点考向

课标要求

真题印证

考频热度

核心素养

函数的模型及其应用

掌握

2023年新高考Ⅰ卷T

2020年全国Ⅰ卷（理）T

2020年全国Ⅲ卷（理）T

★★☆

数学抽象

数学建模

数学运算

命题分析预测

从近几年高考的情况来看，函数模型及其应用常结合数学文化背景考查，试题难度中等.预计2025年高考会以数学文化为背景考查对数函数与指数函数的应用

一、几类函数模型

函数模型

函数解析式

一次函数模型

fx=ax+

二次函数模型

fx=ax2+

反比例函数模型

fx=kx

指数函数模型

fx=bax+c(a,

对数函数模型

fx=blogax+c(a

幂函数模型

fx=axα+b(

“对勾”函数模型

f

二、三种函数模型的性质

函数

性质

y

y

y

在0,+∞

单调①递增

单调②递增

单调③递增

增长速度

越来④越快

越来⑤越慢

相对平稳

图象的变化

随x的增大，逐渐表现为与⑥y轴平行

随x的增大，逐渐表现为与⑦x轴平行

随α的值变化而变化

值的比较

存在一个x0，当x

【提醒】对于幂函数模型y=xαα

题组1走出误区

1.判一判.（对的打“√”,错的打“×”）

（1）某种商品进价为每件100元，按进价增加10%出售，后因库存积压降价，若按九折出售，则每件还能获利.(×

（2）函数y=2x的函数值比y

（3）不存在x0，使ax0

（4）“指数爆炸”是指数型函数y=abx+c(

2.（易错题）某校为了规范教职工绩效考核制度，现准备拟定一个函数用于根据当月评价分数x（单位：分，正常情况下，0≤x≤100，若有突出贡献可以高于100分，且教职工平均每月评价分数在50分左右）计算当月绩效工资

A.y=x?

C.y=11000

【易错点】忽视函数的性质致误，在实际应用问题中，要结合问题的实际意义和函数的性质来确定拟合函数.

[解析]由题意知，拟定函数应满足：①是增函数，且增长速度先快后慢再快；②在x=50左右增长速度较慢，且

对于A，y=x?

对于B，y=

对于C，y=11000

对于D，y=50[

题组2走进教材

3.（人教A版必修①P150·T2改编）在一段时间内，某地的野兔快速繁殖，若野兔总只数的倍增期为21个月，则1万只野兔增长到10万只野兔大约需要年6.(lg2

[解析]设经过x年后的野兔有y只，由题意知y=104?212x21=104?

故大约需要6年.

4.（人教A版必修①P161·T9改编）某工厂产生的废气经过过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量P（单位：mg/L）与时间t（单位：h）之间的关系为P=P0e?kt，其中P0，k是正的常数，若在前5

[解析]当t=0时，

当t=5时，P0?e

当t=20时，

即20h后，还剩

题组3走向高考

5.[2020·新高考Ⅰ卷改编]基本再生数R0与世代间隔T是某传染病的流行病学基本参数.基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间.在该疾病传染的初始阶段，可以用指数模型It=ert描述累计感染病例数It随时间t（单位：天）的变化规律，指数增长率r与R0，T近似满足R0

A.1.2天 B.1.8天 C.2.5天 D.3.5天

[解析]因为R0=3.28，T=6，R0=

则e0.38t+t1

所以t1=ln

考点一利用函数图象刻画实际问题［自主练透］

1.如图，一高为H且装满水的鱼缸，其底部装有一个排水小孔，当小孔打开时，水从孔中匀速流出，水流完所用时间为T.若当水流出时间为t时，鱼缸水深为?，则函数?=ft

A.

B.

C.

D.

[解析]函数?=ft是关于t的减函数，故排除C，D，从一开始，?随着时间变化而减小，但变化逐渐变慢，当超过一半时，?

2.[2024·泰州模拟]某研究人员每隔1min测量一次茶水的温度，根据所得数据作出如图所示的散点图.观察散点图的分布情况，下列可以近似地刻画茶水温度y（单位：℃）随时间x（单位：min）变化规律的数学模型是(

A.y

B.y

C.y

D.y=mloga

[解析]由函数图象可知符合条件的只有指数函数模型，并且m0,0

判断函数图象与实际问题变化过程相吻合的两种方法

1.构建函数模型法：先建立函数模型，再结合模型选图象.

2.验证法：根据实际问题中变量的变化快慢等特点，结合图象的变化趋势，验证是否吻合，从中排除不符合实际情况的答案.

考点二已知函数模型解决实际问题［自主练透］

1.[2024·北京模拟]科学家经过测量发现候鸟的飞行速度可以表示为函数v=12log3x100?lgx0（单位：km/min

A.2倍 B.3倍 C.4倍 D.5倍

[解析]设雄鸟每分钟的耗氧量为x