基础课29 平面向量的数量积及其应用.docxVIP

基础课29平面向量的数量积及其应用

课时评价·提能

基础巩固练

1.已知向量a，b，c在由7×4小正方形（边长为1）组成的网格中的位置如图所示，则2a

A.12 B.4 C.6 D.3

[解析]以网格的小正方形相邻两边所在的单位向量i,j为基底，如图，

则a=2i?j,b=2i+2j,

2.已知向量a=3,4，b=1,0，

A.?6 B.?5 C.5

[解析]因为a=3,4，b=1,0

因为a?ca=b?cb，所以

3.（改编）若平面向量a,b,c两两的夹角相等，且a=2,b=3,c=

A.22 B.3 C.2或22 D.

[解析]若平面向量a，b，c两两的夹角相等，则夹角为0或2π

当向量a，b，c两两的夹角为0时，因为a=2,b=3,c

当向量a，b，c两两的夹角为2π3时，a?b=

则a+b+c

4.已知向量a=1,0，b=(?12,32)，记向量a

A.32 B.?32 C.1

[解析]因为a=1,0，b=(?12,32)，所以a=1，b=

5.（改编）如图，这是一个正六边形ABCDEF，则下列说法错误的是（D）.

A.AC?BD=

C.AF?AB=CB?CD

[解析]连接AC,AD,AE,BD,BF,CE，CE与AD交于点H，如图所示.

对于A，AC?BD=AC?AE

对于B，由图易得AE=AC，直线AD平分∠EAC，且△ACE为正三角形，根据向量加法的平行四边形法则,AC+AE=

易知△EDH，△AEH均为含π6角的直角三角形，故AH=3EH，EH=3DH，即AH=3DH，所以AD=AH+

对于C，设正六边形ABCDEF的边长为a，则AF?AB=AF?ABcos2π3=?

对于D，易知∠CAB=π6，则AC在AB上的投影向量为ACcosπ6?AB

6.已知非零向量a，b满足a+2b⊥a?2b，且向量b在向量a方向上的投影向量是

A.π6 B.π3 C.π2

[解析]因为a+2b⊥a?2

又因为向量b在向量a方向上的投影向量是14a，所以bcos?a,b??aa=bacos?a,b??a=12cos?a,b??a=14a，所以12cos?a,b

7.（改编）已知在△ABC中，ABAB+ACAC?BC

A.等边三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形 D.等腰直角三角形

[解析]因为ABAB为AB方向上的单位向量，ACAC为AC方向上的单位向量，所以ABAB+ACAC在∠

所以∠BAC的平分线垂直于BC，根据等腰三角形三线合一定理得到△ABC为等腰三角形，且AB=AC，又BABA?CB

又0Bπ2，所以B=π3，所以C=B=π

8.已知在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，其中bcosC+ccosB=2acosA且c=

A.?34 B.5 C.3

[解析]如图，因为bcosC+

则sinB+C=2sinAcosA，又sinB

所以AM?BN=1

综合提升练

9.（多选题）已知a，b为平面向量，其中b为单位向量，若非零向量a与b满足a?a?

A.a?b⊥a?3b B.

C.a的最大值为2 D.a?

[解析]对于A，a?b?a?3b

对于B，设a与b的夹角为θ，则a?a?4b=a2?4a?bcosθ=a2?4acos

对于C，a?a?4b=a2?4a?bcos

对于D，由a2?4a?b=?3，可得a?b=a2+34，a?b2=

10.（多选题）已知在△ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c，S为△ABC的面积，且a=23

A.A

B.若△ABC有两个解，则b的取值范围是

C.若△ABC为锐角三角形，则b的取值范围是

D.若D为BC边上的中点，则AD的最大值为3

[解析]对于A,由AB?AC=233S，得cbcosA=233×

对于B,若△ABC有两个解，则bsinAab，即32

对于C,若△ABC为锐角三角形，则0Bπ2，A+B=π3+Bπ2，故

对于D,若D为BC边上的中点，则AD=12AB+AC，故AD2

所以由基本不等式得b2+c2=12+bc≥2bc，当且仅当b=c=23时，等号成立，故bc

11.已知非零向量a，b满足a=3b且a+3b⊥a

[解析]∵a+3b⊥

∵a=3b,∴3b2?a

12.已知平行四边形ABCD的面积为93，∠BAD=2π3，E为线段BC的中点.若F为线段DE

[解析]因为平行四边形ABCD的面积为93

所以ABADsin2π

如图，连接AE，则BE=12

所以AF=

因为E,F,D三点共线，所以λ+56?

应用情境练

13.笛卡尔坐标系是直角坐标系与斜角坐标系的统称.如图，在平面斜角坐标系xOy中，两坐标轴的正半轴的夹角为60°，e1，e2分