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基础课29平面向量的数量积及其应用
课时评价·提能
基础巩固练
1.已知向量a,b,c在由7×4小正方形(边长为1)组成的网格中的位置如图所示,则2a
A.12 B.4 C.6 D.3
[解析]以网格的小正方形相邻两边所在的单位向量i,j为基底,如图,
则a=2i?j,b=2i+2j,
2.已知向量a=3,4,b=1,0,
A.?6 B.?5 C.5
[解析]因为a=3,4,b=1,0
因为a?ca=b?cb,所以
3.(改编)若平面向量a,b,c两两的夹角相等,且a=2,b=3,c=
A.22 B.3 C.2或22 D.
[解析]若平面向量a,b,c两两的夹角相等,则夹角为0或2π
当向量a,b,c两两的夹角为0时,因为a=2,b=3,c
当向量a,b,c两两的夹角为2π3时,a?b=
则a+b+c
4.已知向量a=1,0,b=(?12,32),记向量a
A.32 B.?32 C.1
[解析]因为a=1,0,b=(?12,32),所以a=1,b=
5.(改编)如图,这是一个正六边形ABCDEF,则下列说法错误的是(D).
A.AC?BD=
C.AF?AB=CB?CD
[解析]连接AC,AD,AE,BD,BF,CE,CE与AD交于点H,如图所示.
对于A,AC?BD=AC?AE
对于B,由图易得AE=AC,直线AD平分∠EAC,且△ACE为正三角形,根据向量加法的平行四边形法则,AC+AE=
易知△EDH,△AEH均为含π6角的直角三角形,故AH=3EH,EH=3DH,即AH=3DH,所以AD=AH+
对于C,设正六边形ABCDEF的边长为a,则AF?AB=AF?ABcos2π3=?
对于D,易知∠CAB=π6,则AC在AB上的投影向量为ACcosπ6?AB
6.已知非零向量a,b满足a+2b⊥a?2b,且向量b在向量a方向上的投影向量是
A.π6 B.π3 C.π2
[解析]因为a+2b⊥a?2
又因为向量b在向量a方向上的投影向量是14a,所以bcos?a,b??aa=bacos?a,b??a=12cos?a,b??a=14a,所以12cos?a,b
7.(改编)已知在△ABC中,ABAB+ACAC?BC
A.等边三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形 D.等腰直角三角形
[解析]因为ABAB为AB方向上的单位向量,ACAC为AC方向上的单位向量,所以ABAB+ACAC在∠
所以∠BAC的平分线垂直于BC,根据等腰三角形三线合一定理得到△ABC为等腰三角形,且AB=AC,又BABA?CB
又0Bπ2,所以B=π3,所以C=B=π
8.已知在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,其中bcosC+ccosB=2acosA且c=
A.?34 B.5 C.3
[解析]如图,因为bcosC+
则sinB+C=2sinAcosA,又sinB
所以AM?BN=1
综合提升练
9.(多选题)已知a,b为平面向量,其中b为单位向量,若非零向量a与b满足a?a?
A.a?b⊥a?3b B.
C.a的最大值为2 D.a?
[解析]对于A,a?b?a?3b
对于B,设a与b的夹角为θ,则a?a?4b=a2?4a?bcosθ=a2?4acos
对于C,a?a?4b=a2?4a?bcos
对于D,由a2?4a?b=?3,可得a?b=a2+34,a?b2=
10.(多选题)已知在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,S为△ABC的面积,且a=23
A.A
B.若△ABC有两个解,则b的取值范围是
C.若△ABC为锐角三角形,则b的取值范围是
D.若D为BC边上的中点,则AD的最大值为3
[解析]对于A,由AB?AC=233S,得cbcosA=233×
对于B,若△ABC有两个解,则bsinAab,即32
对于C,若△ABC为锐角三角形,则0Bπ2,A+B=π3+Bπ2,故
对于D,若D为BC边上的中点,则AD=12AB+AC,故AD2
所以由基本不等式得b2+c2=12+bc≥2bc,当且仅当b=c=23时,等号成立,故bc
11.已知非零向量a,b满足a=3b且a+3b⊥a
[解析]∵a+3b⊥
∵a=3b,∴3b2?a
12.已知平行四边形ABCD的面积为93,∠BAD=2π3,E为线段BC的中点.若F为线段DE
[解析]因为平行四边形ABCD的面积为93
所以ABADsin2π
如图,连接AE,则BE=12
所以AF=
因为E,F,D三点共线,所以λ+56?
应用情境练
13.笛卡尔坐标系是直角坐标系与斜角坐标系的统称.如图,在平面斜角坐标系xOy中,两坐标轴的正半轴的夹角为60°,e1,e2分
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