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第八单元解析几何
基础课42直线的方程
考点考向
课标要求
真题印证
考频热度
核心素养
直线的倾斜角与斜率
掌握
2022年新高考Ⅱ卷T
★☆☆
直观想象数学运算
直线的方程
掌握
2022年全国甲卷(理)T
★★★
直观想象数学运算
命题分析预测
从近几年高考的情况来看,本基础课内容单独命题的可能性很小,一般作为条件与圆锥曲线结合命题.预测2025年高考命题情况变化不大,在复习常规考法的同时,还要注意知识间的综合训练
一、直线的倾斜角
定义
当直线l与x轴相交时,我们以x轴为基准,把x轴①正方向与直线l向上的方向之间所成的角α叫作直线l的倾斜角
规定
当直线l与x轴平行或重合时,直线l的倾斜角为②0.因此直线的倾斜角α的取值范围为③[
二、斜率公式
定义式
当直线l的倾斜角为αα≠π2时,斜率k=④tan
坐标式
若P1x1,y1,P2x2,y2
三、直线的方向向量与斜率的关系
定义
经过两点Ax1,y1,Bx
关系
当直线的一个方向向量为x,y
四、直线方程的五种形式
名称
方程
适用范围
点斜式
⑧y
不含直线x
斜截式
y
不含垂直于x轴的直线
两点式
y
与两坐标轴均不垂直的直线
截距式
⑨x
不含垂直于坐标轴和过原点的直线
一般式
Ax
平面直角坐标系内的直线都适用
【提醒】当直线与x轴不垂直时,可设直线的方程为y=kx+b;当直线不与
识记几种特殊位置的直线方程
1.x轴:y=
2.y轴:x=
3.平行于x轴的直线:y=
4.平行于y轴的直线:x=
5.过原点且斜率存在的直线:y=
题组1走出误区
1.判一判.(对的打“√”,错的打“×”)
(1)只根据直线的倾斜角的大小不能确定直线的位置.(√)
(2)过点Ma,b,Nb,
(3)斜率相等的两直线的倾斜角不一定相等.(×)
(4)直线的倾斜角越大,斜率k就越大.(×)
2.(易错题)过Am2+2,m2?3
【易错点】在利用斜率公式k=y2
[解析]因为直线的倾斜角为45°,所以直线的斜率k=tan45°=1.由k=m2?3?2mm2+2
题组2走进教材
3.(人教A版选修①P66·练习T1改编)已知直线l过点7,?7,且斜率为?23,则直线
[解析]因为直线l过点C7,?7且kl=?23
4.(人教A版选修①P67·T7改编)经过点P2,3,并且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程为3x
[解析]截距为0时,直线方程为3x?2y=0;当截距不为0时,设截距为a,则直线方程为xa+ya=1,将点
题组3走向高考
5.[2022·新高考Ⅱ卷]图1是中国古代建筑中的举架结构,AA′,BB′,CC′,DD′是桁,相邻桁的水平距离称为步,垂直距离称为举.图2是某古代建筑屋顶截面的示意图,其中DD1,CC1,BB1,AA1是举,OD1,DC1,CB1,BA1是相等的步,相邻桁的举步之比分别为DD
A.0.75 B.0.8 C.0.85 D.0.9
[解析]设OD1=DC1=CB1=BA1=1,则DD
考点一直线的倾斜角与斜率[自主练透]
1.[2024·山西联考]若直线l1,l2,l3,l
A.l1 B.l2 C.l3
[解析]由题图知kl3kl
2.若A2,?3,B4,3,
A.?12 B.?6 C.6
[解析]因为kAB=kAC,kAB=3??
3.已知直线l:x+ycosθ+
A.[0,π)
C.[π4,
[解析]当cosθ=0时,α=π
∵cosθ∈[?1
∴α∈π4,
4.已知点A1,3,B?2,?1.若直线l
[解析]直线l:y=kx?2+1经过定点P2,
变式设问若将题4中的条件“A1,3”改为“A4,?
[解析]直线l:y=
∵kPA=?2?14?2=?32,k
求倾斜角的取值范围的步骤
1.求出斜率k=tan
2.利用正切函数的单调性,借助函数图象或单位圆,数形结合确定倾斜角α的取值范围.
【注意】倾斜角的取值范围是[0,π),若直线的斜率不存在,则直线的倾斜角为π2
考点二求直线的方程[自主练透]
(一题练透)用适当方法求下列直线的方程.
(1)直线的斜率为2,且经过点A1
[解析]因为k=2,且经过点A1,3,由直线的点斜式可得y
(2)斜率为3,且在y轴上的截距为4;
[解析]由直线的斜率k=3,且在
得直线的斜截式为y=3x
(3)经过A2,?3
[解析]由直线的两点式可得y??3
(4)过点1,2,且在x轴和
[解析]当截距为0时,设直线方程为y=kx,代入点1,2,解得k=2,则直线方程为y=2x,即2x?y=0;当截距不为0时,设直线方程为
(5)已知直线l的一个方向向量为n=2,3,且
[解析]因为直线l的一个方向向量为n=2,3,所以直线l
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