基础课42 直线的方程 (2).docxVIP

第八单元解析几何

基础课42直线的方程

考点考向

课标要求

真题印证

考频热度

核心素养

直线的倾斜角与斜率

掌握

2022年新高考Ⅱ卷T

★☆☆

直观想象数学运算

直线的方程

掌握

2022年全国甲卷（理）T

★★★

直观想象数学运算

命题分析预测

从近几年高考的情况来看，本基础课内容单独命题的可能性很小，一般作为条件与圆锥曲线结合命题.预测2025年高考命题情况变化不大，在复习常规考法的同时，还要注意知识间的综合训练

一、直线的倾斜角

定义

当直线l与x轴相交时，我们以x轴为基准，把x轴①正方向与直线l向上的方向之间所成的角α叫作直线l的倾斜角

规定

当直线l与x轴平行或重合时，直线l的倾斜角为②0.因此直线的倾斜角α的取值范围为③[

二、斜率公式

定义式

当直线l的倾斜角为αα≠π2时，斜率k=④tan

坐标式

若P1x1,y1,P2x2,y2

三、直线的方向向量与斜率的关系

定义

经过两点Ax1,y1,Bx

关系

当直线的一个方向向量为x,y

四、直线方程的五种形式

名称

方程

适用范围

点斜式

⑧y

不含直线x

斜截式

y

不含垂直于x轴的直线

两点式

y

与两坐标轴均不垂直的直线

截距式

⑨x

不含垂直于坐标轴和过原点的直线

一般式

Ax

平面直角坐标系内的直线都适用

【提醒】当直线与x轴不垂直时，可设直线的方程为y=kx+b；当直线不与

识记几种特殊位置的直线方程

1.x轴：y=

2.y轴：x=

3.平行于x轴的直线：y=

4.平行于y轴的直线：x=

5.过原点且斜率存在的直线：y=

题组1走出误区

1.判一判.（对的打“√”,错的打“×”）

（1）只根据直线的倾斜角的大小不能确定直线的位置.(√)

（2）过点Ma,b,Nb,

（3）斜率相等的两直线的倾斜角不一定相等.(×)

（4）直线的倾斜角越大,斜率k就越大.(×)

2.（易错题）过Am2+2,m2?3

【易错点】在利用斜率公式k=y2

[解析]因为直线的倾斜角为45°，所以直线的斜率k=tan45°=1.由k=m2?3?2mm2+2

题组2走进教材

3.（人教A版选修①P66·练习T1改编）已知直线l过点7,?7，且斜率为?23，则直线

[解析]因为直线l过点C7,?7且kl=?23

4.（人教A版选修①P67·T7改编）经过点P2,3，并且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程为3x

[解析]截距为0时，直线方程为3x?2y=0；当截距不为0时，设截距为a，则直线方程为xa+ya=1，将点

题组3走向高考

5.[2022·新高考Ⅱ卷]图1是中国古代建筑中的举架结构，AA′,BB′,CC′,DD′是桁，相邻桁的水平距离称为步，垂直距离称为举.图2是某古代建筑屋顶截面的示意图，其中DD1，CC1，BB1，AA1是举，OD1，DC1，CB1，BA1是相等的步，相邻桁的举步之比分别为DD

A.0.75 B.0.8 C.0.85 D.0.9

[解析]设OD1=DC1=CB1=BA1=1，则DD

考点一直线的倾斜角与斜率［自主练透］

1.[2024·山西联考]若直线l1，l2，l3，l

A.l1 B.l2 C.l3

[解析]由题图知kl3kl

2.若A2,?3,B4,3,

A.?12 B.?6 C.6

[解析]因为kAB=kAC，kAB=3??

3.已知直线l：x+ycosθ+

A.[0,π)

C.[π4,

[解析]当cosθ=0时,α=π

∵cosθ∈[?1

∴α∈π4,

4.已知点A1,3,B?2,?1.若直线l

[解析]直线l：y=kx?2+1经过定点P2,

变式设问若将题4中的条件“A1,3”改为“A4,?

[解析]直线l:y=

∵kPA=?2?14?2=?32，k

求倾斜角的取值范围的步骤

1.求出斜率k=tan

2.利用正切函数的单调性，借助函数图象或单位圆，数形结合确定倾斜角α的取值范围.

【注意】倾斜角的取值范围是[0,π)，若直线的斜率不存在，则直线的倾斜角为π2

考点二求直线的方程［自主练透］

（一题练透）用适当方法求下列直线的方程.

（1）直线的斜率为2，且经过点A1

[解析]因为k=2，且经过点A1,3，由直线的点斜式可得y

（2）斜率为3，且在y轴上的截距为4；

[解析]由直线的斜率k=3，且在

得直线的斜截式为y=3x

（3）经过A2,?3

[解析]由直线的两点式可得y??3

（4）过点1,2，且在x轴和

[解析]当截距为0时，设直线方程为y=kx，代入点1,2，解得k=2，则直线方程为y=2x，即2x?y=0;当截距不为0时，设直线方程为

（5）已知直线l的一个方向向量为n=2,3，且

[解析]因为直线l的一个方向向量为n=2,3，所以直线l