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第三单元一元函数的导数及其应用

基础课16导数的概念及其意义、导数的运算

课时评价·提能

基础巩固练

1.已知函数fx=t2（t为常数），

A.fx=0,g

C.fx=0，g

[解析]由题意得fx=0,g

2.[2024·成都月考]已知函数fx=x2?

A.3 B.5 C.7 D.6

[解析]根据题意，f

故limΔx→0f

3.[2024·沧州月考]一质点做直线运动，它所经过的路程s与时间t的函数关系为st=t3+t2+1，若该质点在时间段[1,

A.10 B.16 C.26 D.28

[解析]v1

st=3t2

故选C.

4.已知函数y=fx的图象在点M3,f3

A.1 B.2 C.3 D.5

[解析]由fx的图象在点M3,f3处的切线方程是y=13x+23,可得f3=13

5.已知函数y=fx的部分图象如图所示，fx

A.f2

C.f2

[解析]如图所示，根据导数的几何意义，可得f2表示曲线y=fx在点A处的切线的斜率，即直线l1的斜率kl1，f4表示曲线y=f

由平均变化率的定义，可得f4?f22表示过A

结合图象，可得kl1klk

6.[2024·福建月考]曲线fx=xln

A.2x?y?2=0 B.x

[解析]fx=lnx+1，所以f1=1，因为f1=

7.已知函数fx的导函数为fx,f1x,f

A.f1a

C.f2a

[解析]f1a,f2a,f3a分别表示f1x,f2x

8.[2024·延安测试]若曲线fx=2x+kcos

A.2 B.±22 C.2±

[解析]∵f

∴fx

∵fπ=?2π+k

可化为y=?

令x=0，得y=?k，令y

∴12×?k×?

综合提升练

9.[2024·德州模拟]（多选题）已知函数fx的导函数为fx，若存在x0，使得fx0=

A.fx=x2 B.fx=

[解析]对于A，fx=2x，令x2=2x，得x=

对于B，fx=?1x2，令1x=?

对于C，f

令ln

作出y=lnx与y=1

结合y=lnx，y=1x的图象，知方程ln

对于D，fx=?e?x，令1ex=?e

10.[2024·广东模拟]（多选题）吹气球时，记气球的半径r与体积V之间的函数关系为rV，rV为rV的导函数.已知rV在[

A.r

B.r

C.r

D.存在V0∈

[解析]设tanα=r1?r01?0,tanθ=r2?

由题图得，随着V值的变大，图象上点的切线的斜率越来越小，根据导数的几何意义得r1r2

设V1=0,V2=3,则rV1+V2

rV2?rV1V2?V1表示AV1,rV1,BV2,rV2两点所在直线的斜率，r

11.[2024·上海月考]已知a,b为实数，函数y=lnx+ax的图象在x=1

[解析]因为y=lnx+ax，

由x=1处的切线方程为4y?x

所以1?a=1

所以y=lnx+34x，当x=1时

将(1,34)代入切线方程得4×

所以ab=

12.[2024·重庆月考]（双空题）已知函数fx=x?ln2x，则fx的导函数fx

[解析]因为函数fx

所以f

所以f12

所以函数fx的图象在x=12处的切线方程为y

应用情境练

13.[2024·北京月考]某市实施垃圾分类，家庭厨余垃圾的分出量不断增加.已知甲、乙两个小区在[0,t]这段时间内的家庭厨余垃圾的分出量

给出下列四个结论：

①在[t

②在[t

③在t2

④甲小区在[0,t1]，[

其中所有正确结论的序号为②③.

[解析]对于①，在[t1,t2]这段时间内，

对于②,在[t2,t3]这段时间内，

对于③,在t2时刻，乙小区的图象比甲小区的图象陡，瞬时增长率大，说法正确

对于④,甲小区的图象大致为一条直线，所以三个时间段的平均分出量相等，说法错误.

14.[2024·重庆检测]牛顿迭代法是牛顿在17世纪提出的一种求方程近似根的方法.如图，设r是fx=0的根，选取x0作为r的初始近似值，过点x0,fx0作曲线y=fx的切线l,l与x轴的交点的横坐标x1=x0?fx0fx0fx0≠0

[解析]由题意得fx=

当x0=2时，x1=

创新拓展练

15.在18世纪，法国著名数学家拉格朗日在他的《解析函数论》中，第一次提到拉格朗日中值定理，其定理陈述如下：如果函数fx在区间[a,b]上连续不断，在区间a,b内可导（存在导函数），在区间a,b内至少存在一个点x0∈a,b，使得fb?

[解析]当x∈[?1,1]

∵f

∴ex0+

∴x

16.衡量曲线弯曲程度的重要指标是曲率，曲线的曲率定义如下：若fx是fx的导函数，f″x是fx

（1）若曲线fx=lnx+x与gx=x在点1

（2）求正弦曲线?x=sin

[解析]（1）因为fx=

所以K1

因为g