专题25 概率统计解答题（理科）（解析版）.docxVIP

十年（2014－2023）年高考真题分项汇编—概率统计解答题

目录

TOC\o1-3\h\z\u题型一：二项式定理 1

题型二：事件的频率与概率 3

题型三：随机变量的分布列与期望、方差 8

题型四：概率统计中的决策建议 44

题型五：简单的随机抽样与用样本估计总体 49

题型六：相关关系与回归分析 62

题型七：独立性检验 67

题型八：概率统计综合应用 74

题型一：二项式定理

1．(2019·江苏·第24题)设.已知.

(1)求的值；(2)设，其中，求的值.

【答案】见解析

【解析】(1)因为，

所以，

．

因为，

所以，

解得．

(2)由(1)知，．

．

解法一：因为，所以，

从而．

解法二：

．

因为，所以．

因此．

2．(2016高考数学江苏文理科·第26题)(1)求的值；

(2)设，．

求证：．

【答案】(1)；(2)详见解析；

【官方解答】(1)；

(2)当时，结论显然成立．当时，

．

又因为，

所以，．

因此，

＝

＝

＝．

民间解答：(1)；

(2)对任意的，

①当时，左边，右边，等式成立，

②假设时命题成立，

即，

当时，

左边=

，

右边，

而，

因此，

因此左边=右边，

因此时命题也成立，

综合①②可得命题对任意均成立．

另解：因为，所以

左边

又由，知

，

所以，左边右边．

题型二：事件的频率与概率

1．(2022新高考全国I卷·第20题)一医疗团队为研究某地的一种地方性疾病与当地居民的卫生习惯(卫生习惯分为良好和不够良好两类)的关系，在已患该疾病的病例中随机调查了100例(称为病例组)，同时在未患该疾病的人群中随机调查了100人(称为对照组)，得到如下数据：

不够良好

良好

病例组

40

60

对照组

10

90

(1)能否有99%的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异？

(2)从该地的人群中任选一人，A表示事件“选到的人卫生习惯不够良好”，B表示事件“选到的人患有该疾病”．与的比值是卫生习惯不够良好对患该疾病风险程度的一项度量指标，记该指标为R．

(ⅰ)证明：；

(ⅱ)利用该调查数据，给出的估计值，并利用(ⅰ)的结果给出R的估计值．

附，

0．050

0．010

0．001

k

3．841

6．635

10．828

【答案】(1)答案见解析

(2)(i)证明见解析；(ii)；

解析：(1)由已知，

又，，

所以有99%的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异．

(2)(i)因为，

所以所以，

(ii)由已知，，

又，，所以

2．(2022高考北京卷·第18题)在校运动会上，只有甲、乙、丙三名同学参加铅球比赛，比赛成绩达到以上(含)的同学将获得优秀奖．为预测获得优秀奖的人数及冠军得主，收集了甲、乙、丙以往的比赛成绩，并整理得到如下数据(单位：m)：

甲：9．80，9．70，9．55，9．54，9．48，9．42，9．40，935，9．30，9．25；

乙：9．78，9．56，9．51，9．36，9．32，9．23；

丙：9．85，9．65，9．20，9．16．

假设用频率估计概率，且甲、乙、丙的比赛成绩相互独立．

(1)估计甲在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的概率；

(2)设X是甲、乙、丙在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的总人数，估计X的数学期望E(X)；

(3)在校运动会铅球比赛中，甲、乙、丙谁获得冠军的概率估计值最大？(结论不要求证明)

【答案】解析:(1)由频率估计概率可得

甲获得优秀的概率为0．4，乙获得优秀的概率为0．5，丙获得优秀的概率为0．5，故答案为0．4

(2)设甲获得优秀为事件A1,乙获得优秀为事件A2，丙获得优秀为事件A3

，

，

，

．

∴X的分布列为

X

0

1

2

3

P

∴

(3)丙夺冠概率估计值最大．

因为铅球比赛无论比赛几次就取最高成绩．比赛一次，丙获得9．85的概率为，甲获得9．80的概率为，乙获得9．78的概率为．并且丙的最高成绩是所有成绩中最高的，比赛次数越多，对丙越有利．

3．(2020年高考课标Ⅰ卷理科·第19题)甲、乙、丙三位同学进行羽毛球比赛，约定赛制如下：累计负两场者被淘汰；比赛前抽签决定首先比赛的两人，另一人轮空；每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一场轮空，直至有一人被淘汰；当一人被淘汰后，剩余的两人继续比赛，直至其中一人被淘汰，另一人最终获胜，比赛结束．经抽签，甲、乙首先比赛，丙轮空．设每场比赛双方获胜的概率都为，

(1)求甲连胜四场的概率；

(2)求需要进行第五场比赛的概率；

(3)求丙最终获胜的概率．

【答案】(1)；(2)；(3)．

【解析】(1)记事件甲连胜四场，则；

(2)记事件为甲输，事件为乙输，事件为