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十年(2014-2023)年高考真题分项汇编—概率统计解答题
目录
TOC\o1-3\h\z\u题型一:二项式定理 1
题型二:事件的频率与概率 3
题型三:随机变量的分布列与期望、方差 8
题型四:概率统计中的决策建议 44
题型五:简单的随机抽样与用样本估计总体 49
题型六:相关关系与回归分析 62
题型七:独立性检验 67
题型八:概率统计综合应用 74
题型一:二项式定理
1.(2019·江苏·第24题)设.已知.
(1)求的值;(2)设,其中,求的值.
【答案】见解析
【解析】(1)因为,
所以,
.
因为,
所以,
解得.
(2)由(1)知,.
.
解法一:因为,所以,
从而.
解法二:
.
因为,所以.
因此.
2.(2016高考数学江苏文理科·第26题)(1)求的值;
(2)设,.
求证:.
【答案】(1);(2)详见解析;
【官方解答】(1);
(2)当时,结论显然成立.当时,
.
又因为,
所以,.
因此,
=
=
=.
民间解答:(1);
(2)对任意的,
①当时,左边,右边,等式成立,
②假设时命题成立,
即,
当时,
左边=
,
右边,
而,
因此,
因此左边=右边,
因此时命题也成立,
综合①②可得命题对任意均成立.
另解:因为,所以
左边
又由,知
,
所以,左边右边.
题型二:事件的频率与概率
1.(2022新高考全国I卷·第20题)一医疗团队为研究某地的一种地方性疾病与当地居民的卫生习惯(卫生习惯分为良好和不够良好两类)的关系,在已患该疾病的病例中随机调查了100例(称为病例组),同时在未患该疾病的人群中随机调查了100人(称为对照组),得到如下数据:
不够良好
良好
病例组
40
60
对照组
10
90
(1)能否有99%的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异?
(2)从该地的人群中任选一人,A表示事件“选到的人卫生习惯不够良好”,B表示事件“选到的人患有该疾病”.与的比值是卫生习惯不够良好对患该疾病风险程度的一项度量指标,记该指标为R.
(ⅰ)证明:;
(ⅱ)利用该调查数据,给出的估计值,并利用(ⅰ)的结果给出R的估计值.
附,
0.050
0.010
0.001
k
3.841
6.635
10.828
【答案】(1)答案见解析
(2)(i)证明见解析;(ii);
解析:(1)由已知,
又,,
所以有99%的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异.
(2)(i)因为,
所以所以,
(ii)由已知,,
又,,所以
2.(2022高考北京卷·第18题)在校运动会上,只有甲、乙、丙三名同学参加铅球比赛,比赛成绩达到以上(含)的同学将获得优秀奖.为预测获得优秀奖的人数及冠军得主,收集了甲、乙、丙以往的比赛成绩,并整理得到如下数据(单位:m):
甲:9.80,9.70,9.55,9.54,9.48,9.42,9.40,935,9.30,9.25;
乙:9.78,9.56,9.51,9.36,9.32,9.23;
丙:9.85,9.65,9.20,9.16.
假设用频率估计概率,且甲、乙、丙的比赛成绩相互独立.
(1)估计甲在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的概率;
(2)设X是甲、乙、丙在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的总人数,估计X的数学期望E(X);
(3)在校运动会铅球比赛中,甲、乙、丙谁获得冠军的概率估计值最大?(结论不要求证明)
【答案】解析:(1)由频率估计概率可得
甲获得优秀的概率为0.4,乙获得优秀的概率为0.5,丙获得优秀的概率为0.5,故答案为0.4
(2)设甲获得优秀为事件A1,乙获得优秀为事件A2,丙获得优秀为事件A3
,
,
,
.
∴X的分布列为
X
0
1
2
3
P
∴
(3)丙夺冠概率估计值最大.
因为铅球比赛无论比赛几次就取最高成绩.比赛一次,丙获得9.85的概率为,甲获得9.80的概率为,乙获得9.78的概率为.并且丙的最高成绩是所有成绩中最高的,比赛次数越多,对丙越有利.
3.(2020年高考课标Ⅰ卷理科·第19题)甲、乙、丙三位同学进行羽毛球比赛,约定赛制如下:累计负两场者被淘汰;比赛前抽签决定首先比赛的两人,另一人轮空;每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛,负者下一场轮空,直至有一人被淘汰;当一人被淘汰后,剩余的两人继续比赛,直至其中一人被淘汰,另一人最终获胜,比赛结束.经抽签,甲、乙首先比赛,丙轮空.设每场比赛双方获胜的概率都为,
(1)求甲连胜四场的概率;
(2)求需要进行第五场比赛的概率;
(3)求丙最终获胜的概率.
【答案】(1);(2);(3).
【解析】(1)记事件甲连胜四场,则;
(2)记事件为甲输,事件为乙输,事件为
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