1 第1课时　抛物线的简单几何性质(一).docVIP

3．3.2抛物线的简单几何性质

学习指导

核心素养

1.了解抛物线的几何图形及简单几何性质．

2.通过抛物线方程的学习，进一步体会数形结合的思想，了解抛物线的简单应用．

1.数学抽象：依据抛物线的方程、图象研究抛物线的几何性质．

2.数学运算：由抛物线的性质求抛物线的标准方程．

3.逻辑推理、数学运算：直线和抛物线的位置关系的判定．

第1课时抛物线的简单几何性质(一)

知识点抛物线的简单几何性质

标准方程

y2＝2px

(p＞0)

y2＝－2px

(p＞0)

x2＝2py

(p＞0)

x2＝－2py

(p＞0)

图形

范围

x≥0，y∈R

x≤0，y∈R

y≥0，x∈R

y≤0，x∈R

焦点

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，0))

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(p,2)，0))

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(p,2)))

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，－\f(p,2)))

准线方程

x＝－eq\f(p,2)

x＝eq\f(p,2)

y＝－eq\f(p,2)

y＝eq\f(p,2)

对称轴

x轴

y轴

顶点

(0，0)

离心率

e＝1

1．过抛物线y2＝2px(p0)的焦点作直线交抛物线于P(x1，y1)，Q(x2，y2)两点，若x1＋x2＝3p，则|PQ|等于()

A．4pB．5pC．6pD．8p

解析：选A.因为PQ过焦点，所以|PQ|＝x1＋x2＋p＝4p.

2．抛物线y2＝x的焦点到准线的距离等于________．

解析：在抛物线y2＝2px(p0)中，p的几何意义为焦点到准线的距离．

答案：eq\f(1,2)

3．已知抛物线y2＝8x，求出该抛物线的顶点、焦点、准线、对称轴、变量x的范围．

解：已知抛物线y2＝8x，所以p＝4.所以抛物线的顶点为(0，0)，焦点为(2，0)，准线为直线x＝－2，对称轴为x轴，变量x的范围为x≥0.

考点一由抛物线的几何性质求标准方程

已知抛物线的顶点为坐标原点，对称轴为x轴，且与圆x2＋y2＝4相交的公共弦长为2eq\r(3)，求抛物线的方程．

【解】设所求抛物线的方程为y2＝2px(p0)或y2＝－2px(p0)，抛物线与圆的交点A(x1，y1)，B(x2，y2)(y10，y20)，则|y1|＋|y2|＝2eq\r(3)，即y1－y2＝2eq\r(3).由对称性，知y2＝－y1，代入上式，得y1＝eq\r(3)，把y1＝eq\r(3)代入x2＋y2＝4，解得x1＝±1，所以点(1，eq\r(3))在抛物线y2＝2px上，点(－1，eq\r(3))在抛物线y2＝－2px上，可得p＝eq\f(3,2).于是所求抛物线的方程为y2＝3x或y2＝－3x.

由抛物线的几何性质求标准方程的步骤

(1)确定抛物线的类型(焦点所在的位置).

(2)设出抛物线的标准方程．

(3)求出参数p.

(4)写出所求抛物线的标准方程．

1．以x轴为对称轴，顶点为坐标原点，焦点与原点之间的距离为2的抛物线方程是()

A．y2＝8x B．y2＝－8x

C．y2＝8x或y2＝－8x D．x2＝8y或x2＝－8y

解析：选C.依题意设抛物线方程为y2＝±2px(p＞0).因为焦点与原点之间的距离为2，所以eq\f(p,2)＝2，所以2p＝8，所以抛物线方程为y2＝8x或y2＝－8x.故选C.

2．抛物线的顶点在原点，对称轴重合于椭圆9x2＋4y2＝36短轴所在的直线，抛物线焦点到顶点的距离为3，求抛物线的标准方程．

解：椭圆的方程可化为eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,9)＝1，

其短轴在x轴上，

所以抛物线的对称轴为x轴，

所以设抛物线的方程为y2＝2px(p0)或y2＝－2px(p0).

因为抛物线的焦点到顶点的距离为3，

即eq\f(p,2)＝3，所以p＝6，

所以所求抛物线的标准方程为y2＝12x或y2＝－12x.

考点二抛物线性质的应用

(1)设P是抛物线y2＝4x上任意一点，设A(3，0)，则|PA|取得最小值为________．

(2)已知正三角形AOB的一个顶点O位于坐标原点，另外两个顶点A，B在抛物线y2＝2px(p0)上，求这个三角形的边长．

【解】(1)设点P的坐标为(x，y)，因为y2＝4x，x≥0，则|PA|2＝(x－3)2＋y2＝x2－6x＋9＋4x＝x2－2x＋9＝(x－1)2＋8.当x＝1时，|PA|取得最小值2eq\r(2).故填2