2 1．1.2　空间向量的数量积运算.pptxVIP

1．1.2空间向量的数量积运算;学习指导;01;知识点一空间向量的夹角;(1)只有两个非零向量才有夹角，零向量与任何向量不定义夹角，并规定0与任何向量a都共线，即0∥a.

(2)当两个非零向量同向时，它们的夹角为0，反向时，它们的夹角为π，即〈a，b〉＝0或〈a，b〉＝π?a∥b(a，b为非零向量).

;√;√;知识点二空间向量的数量积

(1)定义：已知两个非零向量a，b，则|a||b|cos〈a，b〉叫做a，b的数量积，记作________．即a·b＝______________．

(2)运算律：

①结合律：(λa)·b＝_______，(λ∈R)；

②交换律：a·b＝_______；

③分配律：(a＋b)·c＝______________．;(3)性质

;求空间向量数量积的步骤

(1)将待求数量积的两向量的模长及它们的夹角理清；

(2)利用向量的运算律将数量积展开，转化为已知模和夹角余弦值的乘积；

(3)代入a·b＝|a||b|cos〈a，b〉求解．

;已知a＝3p－2q，b＝p＋q，p和q是相互垂直的单位向量，则a·b＝()

A．1 B．2

C．3 D．4

解析：因为p⊥q且|p|＝|q|＝1，

所以a·b＝(3p－2q)·(p＋q)＝3p2＋p·q－2q2＝3＋0－2＝1.

;已知向量a，b，|a|＝6，|b|＝8，〈a，b〉＝120°，则a在b上的投影向量为________，b在a上的投影向量为________．

;02;√;【解析】因为A1A⊥平面ABC，所以A1A⊥AB，A1A⊥AC.

;因为异面直线所成的角为(0°，90°]，所以AE，A1C所成的角是60°.;利用数量积求夹角或其余弦值的步骤

;利用空间向量解决垂直问题的方法

(1)证明线线垂直的关键是确定直线的方向向量，看方向向量的数量积是否为0来判断两直线是否垂直．

(2)证明与空间向量a，b，c有关的向量m，n垂直，应先用向量a，b，c表示向量m，n，再求解向量m，n的数量积并判断是否为0.

;如图，在空间四边形O－ABC中，OB＝OC，AB＝AC，求证：OA⊥BC.

;考点三利用数量积求距离

正三棱柱(底面是正三角形的直三棱柱)ABC-A1B1C1的各棱长都为2，E，F分别是AB，A1C1的中点，求EF的长．

;如图所示，在?ABCD中，AD＝4，CD＝3，∠D＝60°，PA⊥平面ABCD，PA＝6，求PC的长．

;03;√;2．已知i，j，k是两两垂直的单位向量，a＝2i－j＋k，b＝i＋j－3k，则a??b＝()

A．－2B．－1C．±1D．2

解析：a·b＝(2i－j＋k)·(i＋j－3k)＝2i2－j2－3k2＝－2.

;√;2;4.如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，求异面直线A1B与AC所成的角．

;2;04;√;2;√;3．已知a，b是异面直线，且a⊥b，e1，e2分别为取自直线a，b上的单位向量，且m＝2e1＋3e2，n＝ke1－4e2，m⊥n，则实数k的值为()

A．－6 B．6

C．3 D．－3

解析：由题意得e1·e2＝0，由m⊥n，得m·n＝0，即(2e1＋3e2)·(ke1－4e2)＝0，所以2k－12＝0，所以k＝6.

;√;√;2;2;√;2;2;2;2;答案：0

;2;2;√;2;√;2;2;2;答案：60°1

;14.如图所示，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为平行四边形，∠DAB＝60°，AB＝2AD，PD⊥底面ABCD.用向量法求证：PA⊥BD.

;2;2;2;2;2;(2)求FH的长．

;2