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第2课时抛物线的简单几何性质(二)

考点一直线与抛物线的位置关系

已知直线l：y＝kx＋1，抛物线C：y2＝4x，当k为何值时，l与C：只有一个公共点；有两个公共点；没有公共点．

【解】联立eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝kx＋1，,y2＝4x，))消去y，得k2x2＋(2k－4)x＋1＝0.(*)

当k＝0时，(*)式只有一个解，x＝eq\f(1,4)，

所以直线l与C只有一个公共点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)，1))，

此时直线l平行于x轴．

当k≠0时，(*)式是一个一元二次方程，

Δ＝(2k－4)2－4k2＝16(1－k).

①当Δ0，即k1且k≠0时l与C有两个公共点，此时直线l与C相交；

②当Δ＝0，即k＝1时，l与C有一个公共点，此时直线l与C相切．

③当Δ0，即k1时，l与C没有公共点，此时直线l与C相离．

综上所述，当k＝1或0时，l与C只有一个公共点；

当k1且k≠0时，l与C有两个公共点；

当k1时，l与C没有公共点．

直线与抛物线交点问题的解题思路

(1)判断直线与抛物线的交点个数时，一般是将直线与抛物线的方程联立消元，转化为形如一元二次方程的形式，注意讨论二次项系数是否为0.若该方程为一元二次方程，则利用判别式判断方程解的个数．

(2)直线与抛物线有一个公共点时有两种情形：①直线与抛物线的对称轴重合或平行；②直线与抛物线相切．

已知直线l过点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3p,2)，p))，且与抛物线y2＝2px(p0)只有一个公共点，求直线l的方程．

解：当直线与抛物线只有一个公共点(相切)时，由题意设直线l方程为y－p＝keq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(3p,2)))(k≠0).

将直线l的方程与y2＝2px联立，消去x得ky2－2py＋(2＋3k)p2＝0.

由Δ＝0，得k＝eq\f(1,3)或k＝－1.所以直线l的方程为2x－6y＋9p＝0或2x＋2y＋p＝0.当直线l与x轴平行时，直线l与抛物线只有一个交点，此时，y＝p，故满足条件的直线共有三条，其方程为2x－6y＋9p＝0或2x＋2y＋p＝0或y＝p.

考点二抛物线的焦点弦问题

已知抛物线方程为y2＝2px(p0)，过此抛物线的焦点的直线与抛物线交于A，B两点，且|AB|＝eq\f(5,2)p，求AB所在的直线方程．

【解】由题意知焦点Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，0))，设A(x1，y1)，B(x2，y2).

若AB⊥x轴，则|AB|＝2peq\f(5,2)p，不满足题意．

所以直线AB的斜率存在，设为k，

则直线AB的方程为y＝keq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(p,2)))，k≠0.

由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝k\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(p,2)))，,y2＝2px，))消去y，整理得k2x2－(k2p＋2p)x＋eq\f(k2p2,4)＝0.

因为Δ0，所以由根与系数的关系得x1＋x2＝p＋eq\f(2p,k2).

所以|AB|＝x1＋eq\f(p,2)＋x2＋eq\f(p,2)＝x1＋x2＋p＝2p＋eq\f(2p,k2)＝eq\f(5,2)p，解得k＝±2.

所以AB所在的直线方程为y＝2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(p,2)))或y＝－2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(p,2)))，即2x－y－p＝0或2x＋y－p＝0.

过焦点的弦长的求解方法

设过抛物线y2＝2px(p0)的焦点的弦的端点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝x1＋x2＋p，然后利用弦所在直线方程与抛物线方程联立、消元，由根与系数的关系求出x1＋x2即可．

过抛物线y2＝4x的焦点F作倾斜角为45°的直线交抛物线于A，B两点，求弦长|AB|.

解：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，易得抛物线的焦点F(1，0)，p＝2，所以直线AB的方程是y＝x－1，

联立eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y2＝4x，,y＝x－1，))消去y得，x2－6x＋1＝0，因为Δ0，所以x1＋x2＝6，所以|AB|＝x1＋x2＋p＝6＋2＝8.

考点三与弦长、中点有关的问题

过点P(4，1)作抛物线y2＝8x的弦AB，弦AB恰被点P平分，求AB所在直线的方程及弦A