1．2　空间向量基本定理.pptxVIP

1．2空间向量基本定理;学习指导;01;知识点一空间向量基本定理

(1)定理

;(2)基底

三个向量a，b，c____________，那么{a，b，c}叫做空间的一个基底，a，b，c都叫做__________．

;(1)基底中不能有零向量．因为零向量与任意一个非零向量都为共线向量，与任意两个非零向量都共面．

(2)空间中任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底．

;1．已知a，b，c是不共面的三个向量，则下列各组向量中能构成空间的一个基底的是()

A．3a，a－b，a＋2b B．2b，b－2a，b＋2a

C．a，2b，b－c D．c，a＋c，a－c

;解析：对于A，有3a＝2(a－b)＋a＋2b，则3a，a－b，a＋2b共面，不能作为基底；

对于B，有2b＝(b－2a)＋(b＋2a)，则2b，b－2a，b＋2a共面，不能作为基底；

对于D，有2c＝(a＋c)－(a－c)，则c，a＋c，a－c共面，不能作为基底．故选C.;知识点二空间向量的正交分解

(1)单位正交基底

特别地，如果空间的一个基底中的三个基向量两两_________，且长度都为_____，那么这个基底叫做单位正交基底，常用{i，j，k}表示．

(2)正交分解

把一个空间向量分解为三个两两__________的向量，叫做把空间向量进行正交分解．

;02;用基底表示向量的步骤

;考点二空间向量基本定理的应用

已知正四面体A－BCD的棱长为1，点E，F分别是BC，AD的中点．

(1)证明：EF⊥BC；

;(2)求异面直线AE与CD所成角的余弦值．;将几何问题转化为向量问题的求解策略

(1)将距离和线段长转化为求向量的模；

(2)将线线、线面、面面垂直问题转化为向量垂直问题；

(3)将空间角问题转化为向量夹角问题．

;(2)求BM的长．

解：因为AB＝AD＝1，PA＝2，

所以|a|＝|b|＝1，|c|＝2.

因为AB⊥AD，∠PAB＝∠PAD＝60°，

所以a·b＝0，

a·c＝b·c＝2×1×cos60°＝1，

;03;1．(2022·河南信阳高二月考)若p：a，b，c是三个非零向量；q：{a，b，c}为空间的一个基底，则p是q的()

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

;解析：空间不共面的三个向量可以作为空间的一个基底，若a，b，c是三个共面的非零向量，则{a，b，c}不能作为空间的一个基底；但若{a，b，c}为空间的一个基底，则a，b，c不共面，且a，b，c是三个非??向量，所以p是q的必要不充分条件．故选B.

;√;3．已知空间的一个基底{a，b，c}，m＝a－b＋c，n＝xa＋yb＋c，若m与n共线，则x＝________，y＝________．

;2;2;04;√;2．若{a，b，c}是空间的一个基底，则一定可以与向量p＝2a＋b，q＝2a－b构成空间的另一个基底的向量是()

A．aB．bC．cD．a＋b

;√;√;2;5．在正方体ABCD--A1B1C1D1中，E是上底面A1B1C1D1的中心，则AC1与CE的位置关系是()

A．重合 B．垂直

C．平行 D．无法确定

;2;√;解析：根据基底的概念，知空间中任意三个不共面的向量才可作为空间的一个基底，所以B是假命题．

;2;7．已知{i，j，k}是空间的一个基底，设a1＝2i－j＋k，a2＝i＋3j－2k，a3＝－2i＋j－3k，a4＝3i＋2j＋5k.若a4＝λa1＋μa2＋va3成立，则λ＋μ＋v的值为________．

解析：由实数λ，μ，v使a4＝λa1＋μa2＋va3成立，则有3i＋2j＋5k＝λ(2i－j＋k)＋μ(i＋3j－2k)＋v(－2i＋j－3k)＝(2λ＋μ－2v)i＋(－λ＋3μ＋v)j＋(λ－2μ－3v)k.

;答案：－4

;2;2;2;2;√;2;12．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别为AB，B1C的中点，若AB＝a，则MN＝________．

;13．已知直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠ABC＝120°，AB＝2，BC＝CC1＝1，则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为________．

;2;2;2;√;2;16.如图所示，已知空间四边形ABCD的各边和对角线的长都等于a，点M，N分别是AB，CD的中点．

(1)求证：MN⊥AB，MN⊥CD；

;2;(2)求异面直线AN与CM所成角的余弦值．

;2;2