1 第1课时　双曲线的简单几何性质(一).docVIP

3．2.2双曲线的简单几何性质

学习指导

核心素养

1.掌握双曲线的几何图形及简单几何性质．

2.通过双曲线的方程的学习，进一步体会数形结合的思想，了解双曲线的简单应用．

1.数学抽象：依据双曲线的方程研究双曲线的几何性质．

2.数学运算：依据几何条件求出双曲线的标准方程．

3.逻辑推理：直线和双曲线的位置关系的判定．

第1课时双曲线的简单几何性质(一)

知识点一双曲线的几何性质

焦点在x轴上

焦点在y轴上

标准方程

eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)

eq\f(y2,a2)－eq\f(x2,b2)＝1(a＞0，b＞0)

图形

焦点

F1(－c，0)，F2(c，0)

F1(0，－c)，F2(0，c)

焦距

|F1F2|＝2c

范围

x≤－a或

x≥a，y∈R

y≤－a或

y≥a，x∈R

对称性

对称轴：坐标轴，对称中心：原点

顶点

A1(－a，0)，A2(a，0)

A1(0，－a)，A2(0，a)

轴

实轴：线段A1A2，长：2a；虚轴：线段B1B2，长：2b，实半轴长：a，虚半轴长：b

离心率

e＝eq\f(c,a)∈(1，＋∞)

渐近线

y＝±eq\f(b,a)x

y＝±eq\f(a,b)x

求双曲线9y2－4x2＝－36的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长、离心率、渐近线方程．

【解】将9y2－4x2＝－36化为标准方程为eq\f(x2,9)－eq\f(y2,4)＝1，即eq\f(x2,32)－eq\f(y2,22)＝1，

所以a＝3，b＝2，c＝eq\r(13).

因此顶点坐标为A1(－3，0)，A2(3，0)，

焦点坐标为F1(－eq\r(13)，0)，F2(eq\r(13)，0)，

实轴长2a＝6，虚轴长2b＝4，

离心率e＝eq\f(c,a)＝eq\f(\r(13),3)，

渐近线方程为y＝±eq\f(b,a)x＝±eq\f(2,3)x.

由双曲线的标准方程求几何性质的四个步骤

1．双曲线3x2－y2＝3的渐近线方程是()

A．y＝±3x B．y＝±eq\f(1,3)x

C．y＝±eq\r(3)x D．y＝±eq\f(\r(3),3)x

解析：选C.双曲线3x2－y2＝3化为标准方程为x2－eq\f(y2,3)＝1，a＝1，b＝eq\r(3)，所以其渐近线方程为y＝±eq\f(b,a)x＝±eq\r(3)x，故选C.

2．双曲线eq\f(x2,m)＋y2＝1的虚轴长是实轴长的2倍，则m＝()

A．－eq\f(1,4) B．－4

C．4 D．eq\f(1,4)

解析：选B.双曲线方程化为标准形式y2－eq\f(x2,－m)＝1，则有a2＝1，b2＝－m，由题意知2＝eq\r(－m)，解得m＝－4.

知识点二等轴双曲线

实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线，它的渐近线方程为y＝±x，离心率为e＝eq\r(2).

等轴双曲线的特征是a＝b，等轴双曲线的方程可以设为x2－y2＝λ(λ≠0).当λ0时，双曲线的焦点在x轴上；当λ0时，双曲线的焦点在y轴上．

考点一利用几何性质求双曲线的标准方程

求适合下列条件的双曲线的标准方程．

(1)虚轴长为12，离心率为eq\f(5,4)；

(2)过点(2，0)，与双曲线eq\f(y2,64)－eq\f(x2,16)＝1离心率相等．

【解】(1)设所求双曲线的标准方程为eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1或eq\f(y2,a2)－eq\f(x2,b2)＝1(a＞0，b＞0).

由题意知2b＝12，eq\f(c,a)＝eq\f(5,4)，且c2＝a2＋b2，

所以b＝6，c＝10，a＝8，

所以所求双曲线的标准方程为eq\f(x2,64)－eq\f(y2,36)＝1或eq\f(y2,64)－eq\f(x2,36)＝1.

(2)当所求双曲线的焦点在x轴上时，可设其方程为eq\f(x2,64)－eq\f(y2,16)＝λ(λ＞0)，将点(2，0)代入方程得λ＝eq\f(1,16)，故所求双曲线的标准方程为eq\f(x2,4)－y2＝1；

当所求双曲线的焦点在y轴上时，可设其方程为eq\f(y2,64)－eq\f(x2,16)＝λ(λ＞0)，将点(2，0)代入方程得λ＝－eq\f(1,4)＜0(舍去).

综上可知，所求双曲线的标准方程为eq\f(x2,4)－y2＝1.

已知双曲线