《高等数学》教案 第23课 定积分的概念.docxVIP

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课题

定积分的概念

课时

1课时（45min）

教学目标

知识技能目标：

（1）理解定积分的概念

（2）理解定积分的几何意义

素质目标：

（1）培养学生善于洞察研究对象本质的能力，掌握数学知识间的逻辑结构，形成恰当的推理并作出正确的猜想

（2）通过积分的运算，训练学生的逻辑思维能力，培养学生严谨的学习态度

教学重难点

教学重点：定积分的概念及几何意义

教学难点：定积分的几何意义

教学方法

讲解法、问答法、讨论法

教学用具

电脑、投影仪、多媒体课件、教材

教学过程

主要教学内容及步骤

课前任务

【教师】布置课前任务，和学生负责人取得联系，让其提醒同学通过文旌课堂APP或其他学习软件，预习本节课内容

【学生】完成课前任务

考勤

【教师】使用文旌课堂APP进行签到

【学生】按照老师要求签到

问题导入

【教师】提出问题：

什么是定积分？定积分与不定积分有何区别？

【学生】聆听、思考、讨论、回答

传授新知

【教师】通过大家的发言和讲解，引入新的知识点，讲解定积分的概念等知识

一、引入

【教师】通过两个引例，引出定积分的概念

1．曲边梯形的面积

所谓曲边梯形，是指由一条连续曲线及三条直线，，（即轴）所围成的图形（图5-1（a）），其中线段称为曲边梯形的底，线段和都垂直于x轴，称为曲边梯形的腰．在特殊情况下，有一腰或两腰退化为一点的图形（图5-1（b），（c））仍视为曲边梯形．

（a）（b）（c）（d）

图5-1

显而易见，由任何光滑曲线围成的图形可分解为若干个曲边梯形（图5-1（d））．因此，只要掌握了曲边梯形面积的求法，就可以求出由任意光滑曲线围成的图形的面积．

现在，我们来求由任意曲线，直线围成的曲边梯形的面积（图5-2）．为了方便，不妨假定．

由图5-2不难看出，曲边梯形在底边上各点处的高在区间上是变动的，故不能用矩形的面积公式计算曲边梯形的面积．但是，我们可以通过求曲边梯形面积的近似值，利用极限得到曲边梯形面积的准确值．

图5-2

（1）分割（化“整”为“零”）．

在区间中任意插入个分点

，

将区间分成n个小区间，则

，

各小区间的长度依次为

，，，．

过各分点作x轴的垂线，把曲边梯形分成n个小曲边梯形（图5-2）．设它们的面积依次为，则整个曲边梯形的面积为

．

（2）取近似（以“粗”代“精”）．

由于在上连续变化，在很小一段区间上它的变化很小，近似于不变．因此我们可以在每个小区间上用其中某一点处的高来近似代替同一小区间上的小曲边梯形的变高，这样得到的小矩形的面积就可以看作是同一小区间上的小曲边梯形面积的近似值，即

．

（3）求和（合“零”为“整”）．

将n个小矩形面积加起来，即为曲边梯形的面积的近似值，即

．

显然，小曲边梯形分得越小，近似程度就越高．

（4）取极限（去“粗”取“精”）．

记，表示小区间中最大长度，当时（这时所有小区间的长度都趋于零，同时份数n无限增多，即），上面和式的极限就是曲边梯形的面积，即

2．变速直线运动的路程

我们知道，当物体作匀速直线运动时，其路程等于速度乘以时间．如果物体作变速直线运动，即速度是时间的函数，记．那么物体在时间段上运动的路程，显然不能简单地用速度乘以时间来计算，这样的路程究竟该如何计算呢？我们采用上述方法分析如下：

（1）分割．

在时间段中任意插入个分点

，

将分成n个小时间段（图5-3），

，

图5-3

每个小时间段的长度依次为

，，

相应地，每个小时间段上运动的路程为．

（2）取近似．

由于物体运动速度的变化是连续的，在很短的时间内速度变化很小，近似看做匀速的，我们在每个小区间上任取一点，用作为物体在小的时间段上运动的路程的近似值，即

．

（3）求和．

物体在时间段上运动的路程的近似值为

．

（4）取极限．

记，表示小的时间段中最大长度，当时，上面和式的极限就是物体在时间段上运动的路程，即

．

从上面引例可以看出，虽然两个问题的实际意义不同，但解决问题的思路和方法是相同的，都是用“分割、取近似、求和、取极限”这四步解决，最后结果为具有相同结构的一种特定和式的极限．还有许多实际问题也用这种方法解决，因此，我们抛开这类问题的实际意义，抓住它们在数量关系上共同的本质与特性加以概括，抽象出定积分的概念．

二、定积分的定义

【教师】提出定积分的定义

定义设是定义在区间上的有界函数，用分点，

将区间分成n个小区间

，

每个小区间的长度依次为

，，．

在每个小区间上任取点，作乘积，并求和，令，如果不论对怎样划分，也不论在小区间上点怎样选取，只要当时，存在，则称函数在区间上可积，并称此极限值为函数在上的定积分，记为，即

，

其中，