《高等数学》教案 第15课 最大值、最小值问题.docxVIP

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课题

最大值、最小值问题

课时

2课时（90min）

教学目标

知识技能目标：

（1）理解最值的概念，熟练掌握求函数最值的方法

（2）养成整体思维的习惯,提高应用知识解决实际问题的能力

素质目标：

（1）通过教学活动，培养学生仔细观察、善于思考、勇于创新的科学素养

（2）通过引导探究，开发学生的学习潜能，逐步培养学生养成运用数形结合、函数与方程、分类讨论等数学思想方法思考问题、解决问题的习惯

教学重难点

教学重点：求函数最值的方法

教学难点：通过求函数的最大值、最小值解决实际问题

教学方法

讲解法、问答法、讨论法

教学用具

电脑、投影仪、多媒体课件、教材

教学过程

主要教学内容及步骤

课前任务

【教师】布置课前任务，和学生负责人取得联系，让其提醒同学通过APP或其他学习软件，预习本节课内容

【学生】完成课前任务

考勤

【教师】使用APP进行签到

【学生】按照老师要求签到

问题导入

【教师】提出问题：

函数的最大纸盒最小值如何求？

【学生】聆听、思考、讨论、回答

传授新知

【教师】通过大家的发言和讲解，引入新的知识点，讲解最大值、最小值的相关知识

一、最大值与最小值

【教师】提出最值的求法

假定函数在闭区间上连续，由闭区间上连续函数的性质可知：在上的最大值和最小值一定存在，如果最大值（或最小值）在开区间内的点处取得．那么一定是的极大值（或极小值），从而一定是的驻点或尖点．又的最大值和最小值也可能在区间的端点处取得，因此，求连续函数在上的最大值和最小值方法如下：

（1）求导，找出在内的驻点和尖点，按从小到大顺序，不妨设为…，．

（2）计算上述各点的函数值及端点的函数值．

（3）比较（2）中各值的大小，其中最大的、最小的就是函数在上的最大值和最小值．

【教师】通过例题，帮助学生掌握利用最值解决实际问题的方法

例1求函数在上的最大值与最小值．

解，显然（?1，3）内的驻点为；尖点为，．

由于，比较可得在和处，取得最大值，在x=0和x=2处，取得最小值0．

如果连续函数在一个开区间内有惟一的一个极值时，那么这个极大（或极小）值就是函数在该区间内最大（或最小）值（如图3-3，3-4所示）．

图3-3图3-4

许多求最大（或最小）值的实际问题，都属于这种类型．

例2铁路线上AB段的距离为100km，工厂C距A处为20km，AC垂直于AB（图3-8），为了运输需要，要在AB线上选定点D向工厂修筑一条公路，已知铁路每公里货运费与公路每公里货运的运费之比为3∶5，为了使货物从供应站B运到工厂C的运费最省，问D点应选在何处？

图3-5

解设AD=x（km），那么DB=100?x，

．

由于铁路上每公里货运的运费与公路上每公里货运的运费之比为3∶5，因此我们不妨设铁路每公里的货运费为3k，公路每公里的货运费为5k（比例系数k0）．设从B点到C点需要的总运费为y，那么

，

即，

，

解方程，得x=15（km），可见在区间（0，100）内有惟一驻点，且，根据极值判定法则2可知：x=15是目标函数在（0，100）内惟一的极值点，且为极小点，从而也是使目标函数在上取最小值的点，因此，当x=15（km）时，总运费为最省．

在实际问题中，根据实际经验可以断定可导函数最大值或最小值存在，且在定义区间内部取得，这时如果在定义区间内部有惟一驻点，那么可以断定是最大值或最小值．

例3把一根直径为d的圆木锯成截面为矩形的梁（图3-6）．问矩形截面的高h和宽b应如何选择才能使梁的抗弯截面模量最大？

图3-6

解由力学分析可知矩形梁的抗弯截面模量为

，

由图3-6可知，则

．

这样，W就是自变量b的函数，．问题化为：b达到多少时目标函数W取最大值？为此，求W对b的导数

，

令，解得．

由于梁的最大抗弯截面模量一定存在，在内部取得且有唯一驻点．所以，当时，W的值最大，这时，即，．即当圆木直径与截面的高、宽之比为时，梁的抗弯截面模量最大．

例4【旅行社的利润】旅行社为某旅游团包飞机去旅游，其中旅行社的包机费为15000元，旅游团中每人的飞机票按以下方式与旅行社结算：

若旅游团的人数在30人或30人以下，飞机票每张收费900元；若旅游团的人数多于30人，则给予优惠，每多1人，每张机票减少10元，但旅游团的人数最多有75人，那么旅游团的人数为多少时，旅行社可获得的利润最大？

解设旅游团有x人，每张飞机票为y元，依题意得

当；

当

每张机票的价格与旅游团的人数之间的关系为

设利润为Q（x）元，则

Q（x）=

当时，