《高等数学》教案 第11课 函数的微分.docxVIP

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课题

函数的微分

课时

2课时（90min）

教学目标

知识技能目标：

（1）理解函数微分的概念，掌握微分的几何意义

（2）熟练掌握微分的运算法则，了解微分的近似计算

素质目标：

（1）培养学生观察分析、独立思考、猜想归纳的能力

（2）培养学生主动探索、实事求是、科学严谨的学习和工作作风

教学重难点

教学重点：理解微分的概念，掌握微分的运算法则

教学难点：会求函数的微分

教学方法

讲解费、问答法、讨论法

教学用具

电脑、投影仪、多媒体课件、教材

教学过程

主要教学内容及步骤

课前任务

【教师】布置课前任务，和学生负责人取得联系，让其提醒同学通过APP或其他学习软件，预习本节课内容

【学生】完成课前任务

考勤

【教师】使用APP进行签到

【学生】按照老师要求签到

问题导入

【教师】提出问题：

什么是微分？

【学生】聆听、思考、讨论、回答

传授新知

【教师】通过大家的发言，引入新的知识点，介绍函数的微分的相关知识

一、微分的概念

【教师】通过引例，提出微分的概念

引例【薄片面积的增量】如图2-5所示，一块正方形金属薄片受温度变化的影响，其边长由变，问该薄片的面积A改变了多少？

图2-5

若用x表示该薄片的边长，A表示面积，则A是x的函数：．薄片受温度变化的影响时面积的该变量，可以看成是当自变量x自取得增量时，函数相应的增量，即．

从上式可见，由两部分组成．第一部分是的线性函数，即图中带有斜线的两个矩形面积之和，而第二部分在图中是带有交叉斜线的小正方形的面积，当时，这部分是比高阶的无穷小，即．由此可见，若边长改变很微小，即很小时，面积的改变量可近似地用第一部分来代替，也就是

．

此时产生的误差，是一个当时比高阶的无穷小．显然越小，这种近似表达式的精确度越好．

由于，于是上式又可表示为：，这种比较精确又便于计算函数增量的近似表达式，对于点处可导的一般函数也是成立的．即当很小时，在函数的增量中，起主要作用的是，它与仅相差一个当时比高阶的无穷小．因而当很小时，有

．

定义设函数在点处有导数，则称为函数在点处的微分，记作，即

．（2-26）

一般的，函数在任意点x处的微分叫做函数的微分，记作或，即

．（2-27）

当函数在点x处有微分时，我们就说在点x处可微．当在区间内每一点都可微时，就说在内可微．根据微分的定义可知，一个函数，可微一定可导，可导也一定可微．

由于函数的微分，所以有

．

这说明，自变量的微分就是自变量的增量，因此函数的微分又可写成

．（2-28）

用除式（2-28）的两端，得

．（2-29）

式（2-29）说明，函数的导数就是函数的微分dy与自变量微分之商，故导数又称微商．

【教师】通过例题，帮助学生掌握求函数的微分的方法

例1求函数当，时的微分．

解先求函数在任意点x处的微分

，

然后将，代入上式，得

．

例2【球体积的微分】半径为r的球，其体积为，当半径增大时，计算球体积的改变量及微分．

解体积的改变量

，

显然有，

体积微分为．

二、微分的几何意义

【教师】提出微分的几何意义

在直角坐标系中，函数的图形是一条曲线．对于某一固定的值，曲线上有一个确定点，当自变量x有微小增量时，就得到曲线上另一点．从图2-6可知：，．

图2-6

过M点作曲线的切线MT，它的倾角为，则

，

即．

由此可见，当是曲线上的M点的纵坐标的增量时，dy就是曲线的切线上M点的纵坐标的相应增量．当很小时，比小得多．因此在点M的邻近，我们可以用切线段来近似代替曲线段．

三、微分运算法则及微分公式表

由，很容易得到微分的运算法则及微分公式表（当u，v都可导）．

1．微分运算法则

【教师】提出微分的运算法则

（1）； （2）；

（3）； （4）；

（5）．

2．微分公式表

【教师】提出微分公式表

（1）； （2）；

（3）； （4）；

（5）； （6）；

（7）； （8）；

（9）； （10）；

（11）； （12）；

（13）； （14）；

（15）； （16）．

3．复合函数微分法则

【教师】提出复合函数的微分法则

设及都可导，则复合函数的微分为

．

由于，所以，复合函数的微分公式也可以写成

．

由此可见，无论u是自变量还是另一个变量的可微函数，微分形式保持不变