《高等数学》教案 第7课 导数的概念.docxVIP

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课题

导数的概念

课时

2课时（90min）

教学目标

知识技能目标：

（1）掌握导数的定义，理解导数的几何意义

（2）掌握可导与连续的关系

素质目标：

（1）通过导数概念的学习，理解和认同“有限和无限对立统一”的辩证观点，接受用运动变化的辩证唯物主义思想处理数学问题的方法

（2）通过了解导数产生的历史及其在实际生产生活中的广泛应用与巨大作用，认识学习导数的必要性，从而激发学生学习导数的兴趣

教学重难点

教学重点：导数概念的形成及几何意义

教学难点：可导与连续的关系

教学方法

讲解费、问答法、讨论法

教学用具

电脑、投影仪、多媒体课件、教材

教学过程

主要教学内容及步骤

课前任务

【教师】布置课前任务，和学生负责人取得联系，让其提醒同学通过APP或其他学习软件，预习本节课内容

【学生】完成课前任务

考勤

【教师】使用APP进行签到

【学生】按照老师要求签到

问题导入

【教师】提出问题：

什么是导数？

【学生】聆听、理解、记录

传授新知

【教师】通过大家的发言，引入新的知识点，讲解导数的概念

一、两个引例

【教师】通过引例，讲解变速直线运动的瞬时速度与曲线的切线斜率

为了说明微分学的基本概念—导数，我们先讨论在历史上与导数概念的形成有密切的两个问题：变速直线运动的瞬时速度与曲线的切线．

引例1【汽车行驶的速度】小韩开车到120km外的一个旅游景点，共用2小时，为汽车在这段路程行驶的平均速度，然而汽车仪表显示的速度（瞬时速度）却在不断地变化着．事实上，汽车在做变速运动，那么如何计算汽车行驶的瞬时速度呢？

1．变速直线运动的瞬时速度

对于匀速运动来说，我们有速度公式．但是，在实际生活中，运动往往是非匀速的．要想精确地刻画出任意时刻物体运动的快慢，就需要讨论物体在运动过程中任一时刻的速度，即所谓瞬时速度．

设某质点沿直线作变速运动，其运动方程为，现在来确定该质点在某一给定时刻的速度．根据该质点运动方程，当时，质点所经过的路程是．当时，质点所经过的路程是，如图2-1所示．

于是，在到这段时间内，质点所经过的路程是．所以质点在时间这段时间内的平均速度为

．

图2-1

因此，当越小，就越接近质点在时刻的瞬时速度．据此，当时，若的极限存在，就将此极限值称为质点在时刻的（瞬时）速度，即

．

引例2【制作圆形的餐桌玻璃】一张圆形餐桌上需要加装圆形的玻璃，这样既美观又显得干净．当你测量出餐桌的直径后，工艺店的师傅就会在一块方形的玻璃上画出一个同样大的圆形，然后沿着圆形的边缘划掉多余的玻璃，最后用砂轮不断在边缘打磨．当玻璃的边缘非常光滑时，一块圆形的餐桌玻璃就做好了．从数学的角度来讲，工艺店的师傅打磨的过程就是在作圆周的切线．

从中学知识中，我们知道圆周的切线是与圆有唯一交点的直线，但是曲线在某点的切线是什么样的直线？

2．平面曲线的切线斜率

设有曲线L，P为其上一定点，在L上点P外另取一点Q，作割线PQ，当点Q沿曲线L移动并趋近于点P时，如果割线PQ绕点P旋转的极限位置存在，那么处于此极限位置的直线PT叫做曲线L在点P处的切线，定点P叫做切点，如图2-2所示．过切点垂直于该切线的直线叫做曲线在该点的法线．

以下讨论切线斜率的求法．

设曲线L是函数的图形，如图2-3所示，求曲线L在点处得切线的斜率．

图2-2图2-3

在曲线L上点P外另取一点Q，设其坐标为，割线PQ的倾斜角为，则割线PQ的斜率为

．

当点Q沿曲线L趋于点P时，，割线PQ的倾斜角趋于切线PT的倾斜角，于是割线PQ的斜率的极限（如果存在），就是曲线L在点P处的切线的斜率，即

．

二、导数的定义

【教师】根据两个引例，引出导数的定义

上述两个问题，实际意义虽然不同，但它们在数学上的处理方法却是相同的，抛开问题的实际意义，都归结为求函数的增量与对应的自变量增量之比，当自变量的增量趋近于零时的极限．一般地，我们有：

定义1设函数在点的某邻域内有定义，当自变量x在处取得增量（仍在该邻域内）时，相应地函数y取得增量；如果当时，比式的极限存在，就说函数在点处可导，称这个极限为函数在点处的导数，记为或或或，即

．（2-1）

函数在处可导，也称函数在点处具有导数或导数存在．只要令，导数的定义式（2-1）也可以写成如下形式

．（2-2）

显然，式（2-1）和式（2-2）是等价的．

如果函数在开区间内的每一点处都可导，就说函数在开区间内可导，区间称为函数的可导区间．这时对于任一，都有的一个确定的导数值与之对应，这样就构成了一个新的函数，这个函数称为原来函数的导函数．为方