《高等数学》教案 第5课 函数的连续性.docxVIP

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课题

函数的连续性

课时

4课时（180min）

教学目标

知识技能目标：

（1）理解函数的连续性概念，熟悉函数在一点连续的等价定义

（2）掌握初等函数的连续性，熟悉闭区间上连续函数的性质

素质目标：

（1）通过本节内容，培养学生利用函数连续与间断的思想思考、分析、判断变量的变化规律的能力

（2）在揭示函数连续型实质的同时，渗透辩证唯物主义思想

教学重难点

教学重点：函数连续性的概念，函数在一点连续的等价条件

教学难点：会讨论函数的连续性、用初等函数的连续性求极限，能够使用闭区间上连续函数的性质解决问题

教学方法

讲解费、问答法、讨论法

教学用具

电脑、投影仪、多媒体课件、教材

教学过程

主要教学内容及步骤

课前任务

【教师】布置课前任务，和学生负责人取得联系，让其提醒同学通过文旌课堂APP或其他学习软件，预习本节课内容

【学生】完成课前任务

考勤

【教师】使用文旌课堂APP进行签到

【学生】按照老师要求签到

问题导入

【教师】提出问题：

请举例说明，在现实生活中，有哪些事物是随着时间连续变化的？

【学生】聆听、思考、讨论、回答

传授新知

【教师】通过大家的发言，引入新的知识点，讲解函数的连续性

一、函数连续的概念

【教师】提出函数连续的概念

为了准确地描述函数连续的概念，我们首先引入函数增量的概念，如图1-9所示．

设函数在点及其附近有定义，我们把附近的x记作，并称为自变量由变到x时自变量的增量（或改变量），这时相应地函数值由变到，我们称为函数值的增量（或改变量），记作，即

．

图1-9

【教师】通过引例，提出函数连续的定义

引例1【植物的生长高度】大家都知道植物的生长高度h是时间t的函数，而且h随着t的变化而连续变化．事实上，当时间t的变化很微小时，植物的生长高度h的变化也很微小，即当时，．

引例2【图形得出的启示】观察图1-9不难看出，函数在点处连续时，越小，点N越靠近点M，对应的函数增量也越小；当时，点N沿曲线无限接近于点M，这时．

从以上两个引例可以看出，函数在某点连续具有以下数学特征：

，

因为，所以当时，，这时上式可以写为

，

即．

定义1设函数在点及其近旁有定义，若或，则称函数在点连续．点称为函数的连续点．

注意：根据连续的定义，函数在点处连续必须满足三个条件：

在点有定义，且存在；

（2）在点极限存在，即；

（3）．

如果函数在点处不满足连续的条件，则称函数在点不连续或间断，点称为函数的不连续点或间断点．

【教师】通过例题，强调函数在一点连续的定义

例1判断函数在点的连续性．

解因为在0点有定义，且，而，所以．

由定义可知，函数在点连续．

第二节中我们学习了左右极限的概念，在讨论函数的连续性时，有时也需要从左右极限来考虑．在定义1中，如果（或，则称函数在点左连续；如果（或，则称函数在点右连续．左（右）连续也称为单侧连续．

由函数极限与左右极限的关系可以得到：函数在点连续函数在点左连续且右连续．

例2判断函数在点的连续性．

解因为在1点有定义，且，又因为，所以在1点左连续；而，所以在点不右连续，从而函数在点不连续．

如果函数在开区间内每一点都连续，则称函数在开区间内连续．如果函数在开区间内连续，且在两个端点处都单侧连续，则称函数在闭区间上连续．

如果函数在某区间I（I表示任意区间）上连续，则称区间I为函数的连续区间．

例3讨论函数在定义域内连续性．

解设任意一点．因为，

所以，由定义1可知，函数在点连续．由点的任意性可得，函数在定义域内连续．

类似地可以证明，基本初等函数在其定义域内是连续的．

例如，在内连续，在内连续，在上连续等．因此，基本初等函数的连续区间就是其定义域．

二、初等函数的连续性

【教师】提出初等函数的连续性定理

根据极限的四则运算法则和函数连续的定义，我们不难得出如下结论：

（1）若函数和在点处连续，则函数，，在点处也连续．

（2）若函数在点处连续，而函数在对应的点处也连续（其中），则复合函数在点处连续．

根据结论2可得

，

即．

这说明连续的复合函数求极限时，极限符号可以与函数符号交换顺序．

例如，．

【教师】应用初等函数的连续性解决问题

例4求极限．

解因为，所以．

例5求极限．

解．

利用结论1和结论2，我们可以证明：一切初等函数在其定义区间内是连续的．

定义区间是包含在定义域内的区间，初等函数的连续区间就是它的定义区间．

初等函数的连续性为我们提供了求极限的一种方法，即求初等函数定义区间内某一点的极限值等于求该点的函数值．

例6求下列函数的极限：

（