《高等数学》教案 第28课 定积分的应用.docxVIP

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课题

定积分的应用

课时

2课时（90min）

教学目标

知识技能目标：

（1）利用定积分计算平面图形的面积

（2）利用定积分计算立体的体积

（3）定积分的其他应用

素质目标：

（1）培养学生的数学应用意识，提高数学文化素养和自主学习能力

（2）通过对学生在数学的抽象性、逻辑性与严密性等方面进行一定的训练和熏陶，使学生能利用数学思维和逻辑分析问题、解决问题

教学重难点

教学重点：利用定积分计算平面图形的面积和立体的体积

教学难点：应用定积分解决各种问题

教学方法

讲解法、问答法、讨论法

教学用具

电脑、投影仪、多媒体课件、教材

教学过程

主要教学内容及步骤

课前任务

【教师】布置课前任务，和学生负责人取得联系，让其提醒同学通过APP或其他学习软件，预习本节课内容

【学生】完成课前任务

考勤

【教师】使用APP进行签到

【学生】按照老师要求签到

问题导入

【教师】提出问题：

利用定积分可以解决哪些实际问题？

【学生】聆听、思考、讨论、回答

传授新知

【教师】通过大家的发言和讲解，引入新的知识点，讲解定积分的实际应用

一、平面图形的面积

【教师】讲解利用定积分计算平面图形面积的方法

如果函数（）在区间上连续，则定积分的几何意义是由曲线，直线，及x轴所围成的曲边梯形的面积．一般平面图形面积的计算，总可归结为计算若干个曲边梯形的面积．

以下我们介绍几类平面图形面积的求法：

1．由曲线，直线，，所围成的曲边梯形（图5-10）

．

在图5-10（a）中：；

在图5-10（b）中：；

在图5-10（c）中：．

（a）（b）（c）

图5-10

2．由两条曲线与，直线，所围成的平面图形（图5-11）的面积为

．

在图5-11（a）中：；

在图5-11（b）中：．

（a）（b）

图5-11

3．由曲线与直线及=y轴所围成的曲边梯形（图5-12）的面积为．

4．如果在上总有，则曲线与所夹图形（图5-13）面积为．

图5-12图5-13

【教师】通过例题，帮助学生掌握使用定积分计算平面图形面积的方法

例1求由抛物线及所围成的图形的面积．

解如图5-14，可求出两抛物线的交点为和，于是所求面积为

．

这是选取x为积分变量。如果选取y为积分变量，则有

．

图5-14

例2求由抛物线及直线所围成的图形的面积．

解如图5-15所示，求出抛物线与直线的交点，．选取为积分变量，则所求面积为

．

若选取x为积分变量，我们就要分成两块和，所求面积为

图5-15

二、立体的体积

【教师】讲解利用定积分计算立体体积的方法

用定积分计算立体的体积，我们主要讨论旋转体的体积．

设立体是以连续曲线，直线，及x轴所围成的平面图形绕x轴旋转而成的旋转体（图5-16），我们来求它的体积．

用分点把区间分成个小区间，通过各分点作与轴垂直的平面将此立体截为个小薄片．任意取，用底面积为，高为的柱体体积近似代替第个小薄片的体积．又因为由图5-16可知，旋转体被垂直于轴的平面所截得的截面是以为半径的圆，故，则整个立体体积的近似值为，当分点无限增（），且各小区间中最大区间长度时，和式的极限就是旋转体的体积．根据定积分的定义，我们得到绕轴旋转的旋转体体积为

；

类似可得，绕y轴旋转的旋转体的体积为（图5-17）

．

图5-16图5-17

【教师】通过例题，帮助学生掌握使用定积分计算立体体积的方法

例3求椭圆分别绕x轴与y轴旋转而成的旋转体的体积．

解如图5-18，由于图形关于坐标轴对称，故只需考虑其第Ⅰ象限内的曲边梯形绕坐标轴旋转而成的旋转体的体积．

绕x轴旋转而成的旋转体的体积为

．

图5-18

类似地，绕y轴旋转的旋转体的体积为

．

特别地，当时，得半径为R的球体体积

．

三、其他应用

【教师】讲解利用定积分计算液体压力的方法

由物理学知道，在液体深度为h处的压强为，这里是液体的比重．如果有一面积为A的平板，水平地放置在液体深h处，那么，平板一侧所受的液体压力为．如果平板垂直放置在水中，那么，由于不同水深处的压强p不相等，平板一侧所受的水压力就不能直接用上述方法计算．下面我们举例说明它的计算方法．

例4一矩形水闸门，宽20m，高16m，水面与闸门顶齐，求闸门上所受的总压力．

解如图5-19，建立直角坐标系，取x为积分变量，其变化区间是．用分点将分成n个小区间，各段所受的水压力为，则总压力为．

图5-19