《高等数学》教案 第8课 导数的运算.docxVIP

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课题

导数的运算

课时

3课时（135min）

教学目标

知识技能目标：

（1）掌握基本初等函数的导数公式，掌握函数的和、差、积、商的求导法则

（2）掌握复合函数的求导法则、理解反函数的导数、掌握初等函数求导法则及其计算

素质目标：

（1）培养学生的观察能力和灵活运用能力

（2）在学习导数的计算过程中，培养学生的逻辑思维能力与计算能力

教学重难点

教学重点：基本初等函数的导数公式、熟记函数导数的四则运算法则，掌握复合函数的求导法则及计算

教学难点：能利用导数公式、导数的四则运算法则求函数的导数，能够求复合函数的导数

教学方法

讲解费、问答法、讨论法

教学用具

电脑、投影仪、多媒体课件、教材

教学过程

主要教学内容及步骤

课前任务

【教师】布置课前任务，和学生负责人取得联系，让其提醒同学通过APP或其他学习软件，预习本节课内容

【学生】完成课前任务

考勤

【教师】使用APP进行签到

【学生】按照老师要求签到

问题导入

【教师】提出问题：

中学时所学的简单求导法则是怎样的？

【学生】聆听、思考、回答

传授新知

【教师】通过大家的发言，引入新的知识点，介绍导数的运算

一、函数的和、差、积、商的求导法则

【教师】介绍函数的和、差、积、商的求导法则

定理1如果函数和都在点x处可导，那么它们的和，差，积，商（除分母为零外）也都在点x处可导，且有

，（2-9）

，（2-10）

．（2-11）

式（2-9）和式（2-10）可以推广到有限个可导函数的情形．例如，设，，均可导，则有

，

．

作为式（2-10）的特殊情况，当(C为常数)时，有

．（2-12）

作为式（2-11）的特殊情况，有

．（2-13）

【教师】通过例题，帮助学生掌握用函数的和、差、积、商的求导法则解决问题的方法

例1设，求及．

解

．

．

例2设（其中a，b为常数），求．

解先对y进行恒等变形，即

，

求导，得

．

例3已知，求．

解

，

即

．（2-14）

同理有

．（2-15）

例4，求．

解，

即

，（2-16）

同理有

．（2-17）

二、反函数的求导法则

【教师】提出反函数导数的定义

定理2如果函数在区间内单调、可导且，则其反函数在对应的区间内也可导，且

或，（2-18）

即反函数的导数等于直接函数导数的倒数（证明略）．

【教师】通过例题，帮助学生掌握根据定理2来求指数函数及反函数的导数的方法

以下根据定理2来求指数函数及反函数的导数．

例5求的导数．

解是的反函数，将看作直接函数，且在区间内单调、可导，因为

，

所以，由反函数的求导法则得

，

即

，（2-19）

特别地，有

．（2-20）

例6求的导数．

解是的反函数，将看作直接函数，且在区间内单调、可导，因为

，

所以，由反函数的求导法则得

，

即

．（2-21）

同理有

，（2-22）

，（2-23）

．（2-24）

三、复合函数的求导法则

【教师】提出复合函数的求导法则

定理3若函数在点x处可导，而函数在对应的点u处可导，则复合函数在点x处也可导，且有

．（2-25）

也可写成或．

事实上，设为x的增量，则函数有相应的增量，从而函数也相应地有增量，不妨假定，这时

．

因为在x处可导，故在x处连续，即当时．于是令，便得

，

即

．

当时，，故，又，因此，在这种情况下，式（2-25）也是成立的．

定理3表明：复合函数的导数等于函数对中间变