专题66 反比例函数中的动点最值问题（老师版）.pdfVIP

例题精讲

【例1】．如图，直线与x轴、y轴分别交于点A和点B，点C、D分别为线段AB、OB的中点，

点P为OA上一动点，PC+PD值最小时点P的坐标为________

解：当x＝0时，y＝×0+4＝4，

∴点B的坐标为（0，4）；

当y＝0时，x+4＝0，

解得：x＝﹣6，

∴点A的坐标为（﹣6，0）．

∵点C、D分别为线段AB、OB的中点，

∴点C的坐标为（﹣3，2），点D坐标为（0，2）．

作点C关于x轴的对称点C′，连接C′D交x轴于点P，此时PC+PD的值最小，如图所示．

∵点C的坐标为（﹣3，2），

∴点C′的坐标为（﹣3，﹣2）．

设直线C′D的解析式为y＝kx+b（k≠0），

将C′（﹣3，﹣2），D（0，2）代入y＝kx+b得：，

1

解得：，

∴直线C′D的解析式为y＝x+2．

当y＝0时，x+2＝0，

解得：x＝﹣，

∴点P的坐标为（﹣，0），

即点P的坐标为（﹣1.5，0）．

变式训练

【变1-1】．如图，在平面直角坐标系中，点A是x轴正半轴上的一个定点，点P是双曲线y＝（x＞0）

上的一个动点，PB⊥y轴于点B，当点P的横坐标逐渐增大时，四边形OAPB的面积将会（）

A．逐渐增大B．不变

C．逐渐减小D．先增大后减小

解：设点P的坐标为（x，），

∵PB⊥y轴于点B，点A是x轴正半轴上的一个定点，

∴四边形OAPB是个直角梯形，

2

∴四边形OAPB的面积＝（PB+AO）•BO＝（x+AO）•＝+＝+•，

∵AO是定值，

∴四边形OAPB的面积是个减函数，即点P的横坐标逐渐增大时四边形OAPB的面积逐渐减小．

故选：C．

【变1-2】．如图，一次函数y＝2x与反比例函数y＝（k＞0）的图象交于A，B两点，点M在以C（2，0）

为圆心，半径为1的⊙C上，N是AM的中点，已知ON长的最大值为，则k的值是．

解：方法一、联立，

∴，

∴，

∴A（），B（），

∴A与B关于原点O对称，

∴O是线段AB的中点，

∵N是线段AM的中点，

连接BM，则ON∥BM，且ON＝，

∵ON的最大值为，

∴BM的最大值为3，

∵M在⊙C上运动，

∴当B，C，M三点共线时，BM最大，

3

此时BC＝BM﹣CM＝2，

∴（，

∴k＝0或，

∵k＞0，

∴，

方法二、设点B（a，2a），

∵一次函数y＝2x与反比例函数y＝（k＞0）的图象交于A，B两点，

∴A与B关于原点O对称，

∴O是线段AB的中点，

∵N是线段AM的中点，

连接BM，则ON∥BM，且ON＝，

∵ON的最大值为，

∴BM的最大值为3，

∵M在⊙C上运动，

∴当B，C，M三点共线时，BM最大，

此时BC＝BM﹣CM＝2，

∴＝2，

∴a＝或a＝0（不合题意舍去），

12

∴点B（，），

∴k＝，

故答案为：．

【例2】．如图，在平面直角坐标系中，反比例函数y＝（x＞0）的图象与边长是6的正方形OABC的两

边AB，BC分别相交于M，N两点．△OMN的面积为10．若动点P在x轴上，则PM+PN的最小值是

2．

4

解：∵正方形OABC的边长是6，

∴点M的横坐标和点N的纵坐标为6，

∴M（6，），N（，6），

∴BN＝