椭圆及其标准方程.docVIP

§2.2.1椭圆及其标准方程（1） ●教学目标 1．掌握椭圆的定义、方程及标准方程的推导； 2．掌握焦点、焦点位置与方程关系、焦距； 3．了解建立坐标系的选择原则. ●教学重点：椭圆的标准方程及定义 ●教学难点：椭圆标准方程的推导 ●教学过程 Ⅰ.复习回顾： 在日常生活中，大家对椭圆已存有一定的认识，为使大家掌握椭圆的本质特征，这一节，我们开始研究椭圆. Ⅱ.讲授新课： 问题1、在我们日常生活中，那些物体给了我们椭圆的形象？ 同时利用多媒体展示国家大剧院建筑和行星绕太阳公转的图片，为了引导学生向我们的椭圆概念方面思考，教师再次设置问题，加大同学们思考的难度和深度。 问题2、我们知道，圆是平面内到定点的距离等于定长的点的集合，那么椭圆呢？你能说说什么是椭圆吗？椭圆上任一点的特征是什么？ 引导同学们做实验一：取一根固定长的绳子，将绳子两端固定，然后拉紧绳子，用粉笔沿着绳子画出轨迹，大家观察下轨迹是什么？同学们分组进行实验探究，同学们在自己动手的过程中，体验获取知识的成就感，体验科学的神奇。为了增强实验的准确性和科学性，教师可适当利用多媒体、计算机技术设计实验或者动画。然后因势利导，抓住时机，及时抛出探究一内容。 探究1、椭圆给人的印象是“压扁的圆”，但这不是数学上的椭圆的定义，数学上我们是如何定义椭圆的呢？ 小组分组讨论，展示讨论结果。预期结果：椭圆的数学定义要求严谨、简练，有些关键词会漏掉，比如：平面内，2a2c,等等。 1．椭圆定义： 我们把平面内与两个定点F1、F2的距离的和等于常数（大于∣F1F2∣）的点的轨迹叫椭圆.这两个定点F1、F2叫椭圆的焦点，两焦点的距离叫椭圆的焦距. 此时，教师给出椭圆的准确定义，同学比较自己给出的椭圆定义，发现有些出入，这会引起同学们的疑惑，进而引发同学们的思考，教师及时探究2。 探究2：定义中“平面内”三字能不能省略？常数为什么要大于焦距 |F1F2 |？ 小组分组讨论，展示讨论结果。教师总结，至此，同学们对椭圆有了一个严谨、科学、明确的定义。同时对椭圆有更深刻的认识。对培养同学们数学理论知识的严谨性和科学性起到很好的作用。 认识了椭圆，就要研究椭圆，研究椭圆离不开椭圆的方程，以轨迹方程的求法和圆方程的推导导过程为基础，提出问题3，引导同学们推导椭圆的方程。 问题3、回顾圆的轨迹方程是如何求的？如何推导椭圆的方程？ 第一步，建立平面直角坐标系，引入探究三，如何建坐标系？ 探究3：以下四种建系方式，哪一种针对求椭圆的标准方程比较好？ 小组讨论，展示讨论结果，预期可能有以上四种建系结果，通过比较分析，再类比圆方程的建系过程，学生应该不难得出以椭圆的中心为坐标原点建系是最佳方案。按照建系、设点、找几何关系、坐标代入、化简检验的步奏进行椭圆方程的推导，其中化简是本节课的难点，难度较大，需要小组合作，在此教师应该给学生留够充足的时间进行化简，并给予具体指导。 （1）椭圆标准方程的推导 如图2.2-2，建立直角坐标系xOy，使x轴经过点F1、F2，并且O与线段F1F2的中点重合.设M（x,y）是椭圆上任意一点，椭圆的焦距为2c(c＞0)，那么焦点F1、F2的坐标分别是（－c,0），(c,0).又设M与F1和F2的距离的和等于常数2a. 由椭圆定义，椭圆就是集合P=｛M∣∣MF1∣+∣MF2∣=2a｝ 因为∣MF1∣= ∣MF2∣= 所以得：+=2a 整理得：（a2－c2）x2+a2y2=a2(a2－c2).由椭圆的定义可知：2a＞2c，即a＞c，故a2－c2＞0. 令a2－c2=b2，其中b＞0，代入上式整理得： 说明：其中具体整理步骤让学生自得. （2）椭圆的标准方程 焦点在x轴上： 说明：焦点是F1（－c，0）、F2（c，0），其中c2=a2－b2. 焦点在y轴上： 说明：焦点是F1（0，－c），F2（0，c），其中c2=a2－b2. 注：①两种形式中，总有ab0； ②两种形式中，椭圆焦点始终在长轴上； ③a、b、c始终满足c2=a2－b2； 3．例题讲解： 例1 已知两个焦点的坐标分别是（－2，0）、（2，0），并且椭圆经过点，求它的标准方程。 解：（1）因为椭圆的焦点在x轴上，所以设它的标准方程为. 由椭圆的定义知： 2a= ∴a=，又c=2 ∴b2=a2－c2=6所以所求椭圆方程为 说明：例1要求学生熟练应用c2=a2－b2关系式求解椭圆标准方程. 例2 如图，在圆上任取一点P作x轴的垂线段PD，D为垂足。当点P在圆上运动时，线段PD的中点M的轨迹是什么？为什么？ 解：设点M的坐标为（x,y）,点P的坐标为（x0,y0），则 x=x0, y=. 因为P（x0,y0）在圆x2+y2=4上，所以x02+y02=4. ① 将x0=x, y0=2y代入方程