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11.1 平方根与立方根 1.平方根 大河屯一初中 秦梅琳 教学目标： 1.了解一个数的平方根与算术平方根的意义,会用根号表示一个数的平方根、算术平方根。 2.了解开方与乘方是互逆运算,会利用这个逆运算关系求某些非负数的算术平方根。 3.能灵活运用平方根的性质解决问题。 教学重点： 会求一个非负数的平方根和算术平方根，知道平方根的性质。 教学难点： 平方根与算术平方根的区别。 教学过程： 知识回顾： 在前面我们已经学习过有理数的乘方： 指数 底数 幂 提出问题： 如图1，要做一张边长是3分米的方桌面，它的面积是多少？ 图1 图2 这个问题实际上就是求：=？即方桌面的面积为9平方分米。 这是已知底数和指数，求幂的运算，是乘方运算。 二、新知探究： 1、探究一 如果把上面的问题反过来，如图2，要做一张面积是9平方分米的方桌面，它的边长是多少分米呢？ 这个问题实际上就是要求出一个数，使它的平方等于9，即：=9。 显然，括号里应是±3，但－3不符题意。所以方桌面的边长应是3分米。 你还能举出类似的问题吗? 认真观察下面式子可知： =9 ？=±3 我们把括号里的±3叫做9的平方根（二次方根）。 归纳： 一般地，如果 =a ，那么 x叫做 a 的平方根， a叫做x 的平方数。 请同学们说出刚才你举例中什么数是什么数的平方根? 例如：∵=25，－=25 ∴5和－5都是25的平方根，即25的平方根是±5. ∵（﹦ ， （﹣﹦ ∴ 和﹣都是的平方根，即的平方根是±。 试一试: (1)144的平方根是什么? (2)0的平方根是什么? (3)-4的平方根是什么?为什么? 从上面的回答中,你发现了什么? 归纳： 1.一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数. 2.零的平方根是零. 3.负数没有平方根. 通过上面的学习可以得到平方根的性质： ★一个正数有两个平方根，它们互为相反数。 ★零的平方根是零。 ★负数没有平方根。 练习: 下列说法中不正确的个数有 ( ) ①0.25的平方根是0.5 ②-0.5的平方 根是-0.25 ③只有正数才有平方根 ④0的平方根是0 A. 1个 B. 2个. C. 3个 D. 4个 2、探究二 我们已经知道，一个正数a两个平方根，且两个平方根互为相反数，那么正数a的正的平方根叫做a的算术平方根。 正数a的算术平方根记作：，则它的另一个平方根记作：－。所以，一个正数a的平方根我们可以表示为：±。 0的算术平方根还是0 说明：这样求一个正数的平方根，只要求出它的算术平方根后，就可以写出它的平方根了。 想一想： “负数没有平方根”与“一个数的平方根不能为负数”意义是否一样？ 同学们思考、交流自己的见解。 举一个实际例子看看吧！ 5 的平方根，可以记作 和－，或±. 注意：因为负数没有平方根，所以在式子中的被开方数 a ≥0 ，否则式子 没有意义，即式子 中的 a 是一个非负数。 求一个数的平方根（二次方根）的运算，叫做开平方，开平方运算的结果就是平方根。 平方与开平方是互为逆运算，所以，我们就可以通过平方来求出一个非负数的平方根。 3、例题探究 例1：判断下列各数有没有平方根，如果有平方根，试求出它的平方根；如果没有平方根，说明理由。 （1）81 （2）－81 （3）0 （4）（﹣ （5）﹣ 例2：求下列各数的平方根。 （1）100；（2）1.44；（3）；（4）2 解：∵（±10）﹦100 ∴100的平方根是±10 即± =±10 注意：不能写成=±10 请你妨照上面的例子完成其余三个小题。 练习：求下列各数的平方根。 （1）6400； （2）0.25； （3） 三、课堂小结 同学们，学习完本节课你们都学会了哪些知识呢？请同学们认真回顾并归纳总结一下。 1.平方根的概念: 一个数的平方等于a,这个数叫做a的平方根. 2.平方根的性质: ★一个正数有两个平方根，它们互为相反数。 ★零的平方根是零。 ★负数没有平方根。 3.平方根的表示法:±（a≥0) 4.算术平方根的概念: 正数a的正的平方根叫做a的算术平方根. 课堂作业： 教材第4页练习第1、2题； 教材第7页习题11.1第1、2题。