(240)-高等数学之-Fourier级数.pdfVIP

第六节 傅里叶级数 一、三角级数及三角函数系的正交性 二、以 2π 为周期的函数的傅里叶级数 三、奇，偶函数的展开 四、函数展开成正弦级数或余弦级数 五、以 2l 为周期的函数的傅里叶级数 一、三角级数及三角函数系的正交性 y  A sin(t  ) ( 谐波函数 ) 简单的周期运动 : ( A 为振幅 ,  为角频率 φ, 为初相 )  复杂的周期运动 :y  A  A sin(nt  ) 0 n n n1 ( 谐波迭加 ) A sin cos nt A cos sin nt n n n n a0 令  A , a  A sin , b  A cos , t x 0 n n n n n n 2  a 得函数项级数 0  (a cos n x b sin n x )  n n 2 n1 称上述形式的级数为三角级数 . 定理 组成三角级数的函数系 1, cos x , sin x , cos 2x , sin 2x , , cos nx , sin nx ,  在 [, ] 上正交 ,即其中任意两个不同的函数之积在 [, ] 上的积分等于 0 .   sin nx d x 0 (n 1, 2 , ) 证 : 1cos nx d x  1     cos kx cos nx dx 1   cos kx cos nx  cos(k n) x cos(k n) x 2  1  cos(k n)x cos(k n)x  d x 0 (k  n) 2   同理可证 :  sin kx sin nx dx  0 (k  n )   cos kx sin nx dx  0 但是在三角函数系中两个相同的函数的乘积在 [, ] 上的积分不等于 0 . 且有  11dx  2