(312)--第二讲微分方程7-2(医用数学B2).pptVIP

二、一阶线性微分方程 (2). 一阶线性非齐次微分方程 2. 解非齐次方程 例1. 求方程通解 例2. 求方程通解 例3. 求方程 例4. 求方程通解 例4. 求方程通解 贝努利 ( Bernoulli )方程 例1. 求方程 例2. 求方程 例2. 求方程 例3. 求方程 第三节 一、 例1. 内 容 小 结 伯努利(1654 – 1705) * * * * 吉林大学数学教学与研究中心 第3～4讲 共计：56 讲 主讲教师：王颖 上 讲 提 要 一、基本概念 1．可分离变量的微分方程 二、解法 2. 可化为可分离变量的微分方程 一阶线性微分方程(linear first-order differential equation) 若 Q(x) ? 0, 若 Q(x) ? 0, 称为一阶线性非齐次微分方程 称为一阶线性齐次微分方程 第二节 一阶微分方程 标准形式: 其中P(x)， Q(x)为已知函数， Q(x)称为自由项。 (inhomogeneous linear first-order differential equation). (homogeneous linear first-order differential equation). 1. 概念 又称 Q(x)为非齐次项。 (1).一阶线性齐次微分方程 分离变量 两边积分得 故通解为 2. 解法 亦为可分离变量方程 齐次的通解 分析 对应齐次方程通解 齐次方程通解 非齐次方程特解 常数变易法： 则 故原方程的通解 即 作变换 两端积分得 解 对应齐次方程 即 积分得 齐次通解 令非齐次方程的通解： 即 解得 故原方程通解为 代入非齐次方程得 解 对应齐次方程 即 积分得 令非齐次方程的通解为： 代入非齐次方程得 解得 故原方程通解为 即 齐次方程的通解 解 原方程可写为 积分 齐次的通解 令非齐次方程的通解： 对应齐次方程 即 特解. 即 解得 故原方程通解为 将 代入上式，得 则所求解为 代入非齐次方程得 解法1 令 代入方程 即 积分得 故原方程通解为 即 则 方程可视为 解法 2 方程可写为 对应齐次方程 积分得 齐次方程通解 令非齐次方程通解： 代入非齐次方程得 解得 故原方程通解为 即 即 贝努利方程的标准形式: 令 求出此方程通解后, 换回原变量即得贝努利方程通解. 解法: (线性非齐次方程) 在1695年提出 方程两边同时除以 得 又名 的通解. 解 则方程变形为 对应齐次方程： 即 两边积分, 得 齐次通解： 令非齐次方程通解： 代入非齐次方程得 令 方程可写为 则 即 解得 故非齐次方程通解为 的通解. 将 代入, 得原方程通解: 解法一 方程可写为 令 则 所以方程变形为 其通解为 将 代入, 得原方程通解: 解法二 方程可写为 令 则 的通解. 所以方程变形为 对应齐次方程： 即 齐次方程通解： 设非齐次方程通解： 即 非齐次方程通解： 将 代入, 得原方程通解: 的通解. 解 则 对应齐次方程 即 两边积分, 得 方程可写为 令 所以方程变形为 齐次方程通解 代入非齐次方程得 即 解得 故非齐次方程通解为 将 代入, 得原方程通解: 令非齐次方程的通解： 练习 求下列微分方程的通解 可降阶高阶微分方程 二、 型的微分方程 三、 型的微分方程 一、 型的微分方程 令 因此 即 同理可得 依次通过 n 次积分, 可得含 n 个任意常数的通解 . 型的微分方程 解 积分 再积分 又积分 答案: 例2. 解 练习：求下列方程通解 积分 再积分 1. 一阶线性方程 方法1 先解齐次方程 , 再用常数变易法. 方法2 用通解公式 化为线性方程求解. 2. 贝努利方程 3. 可降阶 两边积 n 次分，即可.