(282)--第二十讲微分方程5-2(医用数学A1).pptVIP

二、一阶线性微分方程 2. 解非齐次方程 2. 解非齐次方程 例1. 求方程通解 例2. 求方程通解 例3. 求方程 例4. 求方程通解 例4. 求方程通解 贝努利 ( Bernoulli )方程 例1. 求方程 例2. 求方程 例3. 求方程 第三节 一、 例1. 内 容 小 结 伯努利(1654 – 1705) * * * * 吉林大学数学教学与研究中心 第39～40讲 共计：60讲 主讲教师：王颖 上 讲 提 要 一阶线性微分方程标准形式: 若 Q(x) ? 0, 若 Q(x) ? 0, 称为一阶线性非齐次微分方程. 1. 解齐次方程 分离变量 两边积分得 故通解为 称为一阶线性齐次微分方程 ; 第二节 一阶微分方程 齐次的通解 分析 对应齐次方程通解 齐次方程通解 非齐次方程特解 常数变易法 则 故原方程的通解 即 作变换 两端积分得 解: 对应齐次方程 即 积分得 齐次通解 令非齐次方程的通解： 即 解得 故原方程通解为 代入非齐次方程得 解: 对应齐次方程 即 积分得 令非齐次方程的通解为： 代入非齐次方程得 解得 故原方程通解为 即 齐次方程的通解 解: 原方程可写为 积分 齐次的通解 令非齐次方程的通解： 对应齐次方程 即 特解 即 解得 故原方程通解为 将 代入上式,得 则所求解为 代入非齐次方程得 解: 法1 令 代入方程 即 积分得 故原方程通解为 即 则 方程可视为 解: 法 2 方程可写为 对应齐次方程 积分得 齐次方程通解 令非齐次方程通解： 代入非齐次方程得 解得 故原方程通解为 即 即 贝努利方程的标准形式: 令 求出此方程通解后, 除方程两边 , 得 换回原变量即得贝努利方程通解. 解法: (线性非齐次方程) 在1695年提出 又名 的通解. 解 则方程变形为 对应齐次方程： 即 积分, 得 齐次通解： 令非齐次方程通解： 代入非齐次方程得 即 解得 故非齐次方程通解为 令 方程可写为 的通解. 解 令 则方程变形为 其通解为 将 代入, 得原方程通解: 将 代入, 得原方程通解: 的通解. 解 令 则方程变形为 对应齐次方程 即 积分, 得 齐次方程通解 令非齐次方程的通解： 代入非齐次方程得 即 解得 故非齐次方程通解为 将 代入, 得原方程通解: 可降阶二阶微分方程 一、 型的微分方程 二、 型的微分方程 三、 型的微分方程 令 因此 即 型的微分方程 则 解 例2. 解 1． 2． 答案 1. 一阶线性方程 方法1 先解齐次方程 , 再用常数变易法. 方法2 用通解公式 化为线性方程求解. 2. 贝努利方程 3. 可降阶二阶方程 两边积 两 次分，即可.